Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và mối quan hệ giữa các vectơ để giải quyết các vấn đề liên quan đến vị trí tương đối của các điểm và đường thẳng trong không gian.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO1 vuông góc với SC.
Vậy góc giữa hai mp(SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng BO1 và DO1.
Mặt khác OO1 ⊥ BD, OO1 < OC (vì OC là cạnh huyền của \(\Delta O{O_1}C\) vuông tại O1) mà OC = OB nên \(\widehat {B{O_1}O} > 45^\circ .\)
Tương tự \(\widehat {D{O_1}O} > 45^\circ \) tức \(\widehat {B{O_1}D} >90^\circ \)
Như vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc \(60^\circ \) khi và chỉ khi:
\(\widehat {B{O_1}D} =120^\circ \) \( \Leftrightarrow\) \(\widehat {B{O_1}O} = 60^\circ \) (vì ΔBO1D cân tại O1)
\( \Leftrightarrow BO = O{O_1}\tan 60^\circ \) \(\Leftrightarrow BO = O{O_1}\sqrt 3 \)
Ta có \(O{O_1} \bot SC\) nên \(\widehat {O{O_1}C} = {90^0}\)
Xét tam giác \(CO{O_1}\) vuông tại \({O_1}\) có:
\(O{O_1} = OC\sin \widehat {OC{O_1}} = OC\sin \widehat {ACS}\) \( = OC.{{SA} \over {SC}}\)
Như vậy : \(BO = O{O_1}\sqrt 3 \Leftrightarrow BO = \sqrt 3 .OC.{{SA} \over {SC}} \) \(\Leftrightarrow SC = \sqrt 3 .SA\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{a^2}} = \sqrt 3 .x \Leftrightarrow x = a\)
Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚
Bài toán Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xác định mối quan hệ giữa các điểm và đường thẳng trong không gian, sử dụng kiến thức về vectơ. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Trước khi bắt tay vào giải bài toán, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Thông thường, bài toán sẽ cung cấp thông tin về vị trí của các điểm trong không gian, hoặc thông tin về các vectơ liên quan đến các điểm đó. Dựa vào các thông tin này, học sinh cần:
(Lưu ý: Vì bài toán cụ thể có thể thay đổi tùy theo phiên bản SGK, chúng ta sẽ đưa ra một ví dụ minh họa về cách giải một dạng bài tập tương tự.)
Đề bài: Cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 4; 5). Tìm tọa độ của điểm M sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Lời giải:
Gọi M(x; y; z) là trung điểm của đoạn thẳng AB. Theo công thức trung điểm, ta có:
x = (xA + xB) / 2 = (1 + 3) / 2 = 2
y = (yA + yB) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3
z = (zA + zB) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
Vậy, tọa độ của điểm M là M(2; 3; 4).
Ngoài dạng bài tập tìm trung điểm, Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao còn có thể xuất hiện các dạng bài tập khác, như:
Để giải tốt các bài toán Hình học 11 Nâng cao, học sinh nên:
Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng, giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và hình học không gian. Bằng cách nắm vững kiến thức cơ bản, luyện tập thường xuyên, và áp dụng các phương pháp giải phù hợp, học sinh có thể tự tin giải quyết bài toán này và các bài toán tương tự.
