Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm, hoặc các khái niệm khác đã học để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tìm vi phân của mỗi hàm số sau :
\(y = {\tan ^2}3x - \cot 3{x^2}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức dy=y'dx.
Lời giải chi tiết:
\(y' = 2\tan 3x.\left( {\tan 3x} \right)'\) \( - \left( {3{x^2}} \right)'.\frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}3{x^2}}} \) \(= 2\tan 3x.\left( {3x} \right)'.\frac{1}{{{{\cos }^2}3x}}\) \( + 6x.\left( {1 + {{\cot }^2}3{x^2}} \right) \) \( = 6\tan 3x\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) \) \( + 6x.\left( {1 + {{\cot }^2}3{x^2}} \right)\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow dy = y'dx \cr &= \left[ {6\tan 3x\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right) + 6x\left( {1 + {{\cot }^2}3{x^2}} \right)} \right]dx \cr} \)
\(y = \sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} \)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{ & y' = \frac{{\left( {{{\cos }^2}2x + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }}\cr & = \frac{{2\cos 2x.\left( {\cos 2x} \right)'}}{{2\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }}\cr &= {{2\cos 2x.\left( { - 2\sin 2x} \right)} \over {2\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }} \cr &= {{ - \sin 4x} \over {\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }} \cr & \Rightarrow dy = y'dx = - {{\sin4 x} \over {\sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} }}dx \cr} \)
Bài toán Câu 45 trang 219 trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường thuộc vào các chủ đề về đạo hàm, ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, hoặc các bài toán liên quan đến bất đẳng thức. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản và kỹ năng giải toán liên quan.
(Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Để tìm các điểm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm cấp một
y = x3 - 3x2 + 2
y' = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm làm đạo hàm cấp một bằng 0
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
=> x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Khảo sát dấu của đạo hàm cấp một
Ta lập bảng xét dấu:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + |
Từ bảng xét dấu, ta thấy:
Bước 4: Tính tọa độ các điểm cực trị
Khi x = 0, y = 03 - 3(0)2 + 2 = 2. Vậy điểm cực đại là (0; 2).
Khi x = 2, y = 23 - 3(2)2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2. Vậy điểm cực tiểu là (2; -2).
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 đạt cực đại tại điểm (0; 2) và đạt cực tiểu tại điểm (2; -2).
Để hiểu sâu hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số, bạn có thể thực hành với các bài tập tương tự. Hãy chú ý đến việc xác định đúng các điểm nghi ngờ là cực trị và khảo sát dấu của đạo hàm cấp một một cách cẩn thận.
Ngoài ra, bạn có thể tìm hiểu thêm về đạo hàm cấp hai và ứng dụng của nó trong việc xác định tính lồi, lõm của hàm số.
