Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về hàm số, đạo hàm, hoặc các khái niệm khác đã được học để tìm ra lời giải chính xác.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán tương tự.
Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)
\(y=\sin x,\;y'''\)
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}y' = \cos x\\y" = - \sin x\\y''' = - \cos x\end{array}\)
\(y = \sin x\sin 5x,{y^{\left( 4 \right)}}\)
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}y = \frac{1}{2}\left( {\cos 4x - \cos 6x} \right)\\y' = - 2\sin 4x + 3\sin 6x\\y" = - 8\cos 4x + 18\cos 6x\\y'" = 32\sin 4x - 108\sin 6x\\{y^{\left( 4 \right)}} = 128\cos 4x - 648\cos 6x\end{array}\)
\(y = {\left( {4 - x} \right)^5},{y^{\left( n \right)}}\)
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}y' = - 5{\left( {4 - x} \right)^4}\\y" = 20{\left( {4 - x} \right)^3}\\y"' = - 60{\left( {4 - x} \right)^2}\\{y^{\left( 4 \right)}} = 120\left( {4 - x} \right)\\{y^{\left( 5 \right)}} = - 120\\{y^{\left( n \right)}} = 0\,\left( {\forall n \ge 6} \right)\end{array}\)
\(y = {1 \over {2 + x}},{y^{\left( n \right)}}\)
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}y = \frac{1}{{x + 2}} = {\left( {x + 2} \right)^{ - 1}}\\y' = - 1{\left( {x + 2} \right)^{ - 2}}\\y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){\left( {x + 2} \right)^{ - 3}},...\end{array}\)
Bằng qui nạp ta chứng minh được : \({y^{\left( n \right)}} = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - n} \right).{\left( {x + 2} \right)^{ - n - 1}}\)
\(= {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{n!}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^{n + 1}}}}\)
\(y = {1 \over {2x + 1}},{y^{\left( n \right)}}\)
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}y = {\left( {2x + 1} \right)^{ - 1}}\\y' = \left( { - 1} \right)\left( {2{{\left( {2x + 1} \right)}^{ - 2}}} \right)\\y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){.2^2}{\left( {2x + 1} \right)^{ - 3}},...\end{array}\)
Bằng qui nạp ta chứng minh được :
\({y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{{2^n}.n!}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{n + 1}}}}\)
\(y = {\cos ^2}x,{y^{\left( {2n} \right)}}\)
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = - \sin 2x\\y" = - 2\cos 2x\\y"' = {2^2}\sin 2x\\{y^{\left( 4 \right)}} = {2^3}\cos 2x\\{y^{\left( 5 \right)}} = - {2^4}\sin 2x\\{y^{\left( 6 \right)}} = - {2^5}\cos 2x,...\end{array}\)
Bằng qui nạp ta chứng minh được :
\({y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{.2^{2n - 1}}\cos 2x\)
Bài toán Câu 51 trang 221 trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường thuộc vào các chủ đề về đạo hàm, ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, hoặc các bài toán liên quan đến giới hạn. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các kỹ năng giải toán liên quan.
(Nội dung đề bài cụ thể sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Ví dụ: (Giải chi tiết bài toán với đề bài giả định ở phần I)
Bước 1: Tính đạo hàm cấp một:
f'(x) = 3x^2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm mà f'(x) = 0:
3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
=> x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | NB | ĐC | TC | NB |
(NB: Nghịch biến, ĐC: Đồng biến, TC: Tăng)
Bước 4: Kết luận:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
Việc giải Câu 51 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao đòi hỏi sự hiểu biết vững chắc về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách thực hành thường xuyên và áp dụng các phương pháp giải đúng đắn, bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
