Bài tập ôn tập chương II

Bài tập ôn tập chương II - SGK Toán 11 Nâng cao: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Chương II của SGK Toán 11 Nâng cao là một chương quan trọng, đặt nền móng cho việc học Hình học không gian. Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, các mối quan hệ giữa chúng, đặc biệt là quan hệ song song. Việc nắm vững các kiến thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là hành trang cần thiết cho các bài toán khó hơn ở các lớp trên.

I. Các khái niệm cơ bản

Để hiểu rõ về chương II, trước tiên chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản sau:

Đường thẳng trong không gian: Một đường thẳng được xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng trong không gian: Một mặt phẳng được xác định bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Một vectơ song song với đường thẳng đó.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Một vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng đó.

II. Quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng

Quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng có thể là một trong các trường hợp sau:

Đường thẳng song song với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Đường thẳng nằm trong mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và một điểm trên đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Đường thẳng cắt mặt phẳng: Đường thẳng và mặt phẳng có một điểm chung duy nhất.

III. Quan hệ song song trong không gian

Quan hệ song song trong không gian bao gồm:

Hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng không cắt nhau và không đồng phẳng.
Hai mặt phẳng song song: Hai mặt phẳng không có điểm chung.
Đường thẳng song song với mặt phẳng: Như đã đề cập ở trên.

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z = 5. Chứng minh rằng đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Giải: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là a = (1, -1, 2). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1). Ta có a.n = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 5 ≠ 0. Do đó, đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Tuy nhiên, ta cần kiểm tra xem đường thẳng d có điểm chung với mặt phẳng (P) hay không. Thay x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t vào phương trình mặt phẳng (P), ta được:

2(1 + t) - (2 - t) + (3 + 2t) = 5

2 + 2t - 2 + t + 3 + 2t = 5

5t + 3 = 5

5t = 2

t = 2/5

Vì có giá trị t thỏa mãn, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm có tọa độ (1 + 2/5, 2 - 2/5, 3 + 4/5) = (7/5, 8/5, 19/5). Vậy, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P).

Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z = 1 và (Q): 2x + 2y + 2z = 3. Xác định quan hệ giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Giải: Ta thấy phương trình mặt phẳng (Q) có thể được viết lại thành 2x + 2y + 2z = 3, tương đương với x + y + z = 3/2. Vì hai mặt phẳng (P) và (Q) có cùng vectơ pháp tuyến (1, 1, 1) nhưng có các hằng số khác nhau, chúng song song với nhau.

V. Lời khuyên khi học và ôn tập

Để học tốt chương II, bạn nên:

Nắm vững các định nghĩa và tính chất cơ bản.
Luyện tập nhiều bài tập để hiểu rõ cách áp dụng các kiến thức vào thực tế.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ như hình vẽ và phần mềm để trực quan hóa các khái niệm.
Tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ có một buổi ôn tập chương II hiệu quả và đạt kết quả tốt trong kỳ thi sắp tới!