Giải Câu 5 Trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình Hình học không gian.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết.

Giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A1, B1, C1 và G1. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A₁, B₁, C₁ và G₁. Chứng minh rằng:

a. GG’ song song và bằng cạnh bên của hình lăng trụ

b. G₁ là trọng tâm của tam giác A₁B₁C₁

c. \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right);\)

\({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)

Lời giải chi tiết

Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao 1

a. Gọi I, I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’ thì rõ ràng II' song song và bằng AA’ nên tứ giác AII’A’ là hình bình hành, do đó AI song song và bằng A’I’

Ta cũng có \(AG = {2 \over 3}AI,A'G' = {2 \over 3}A'I'\), mà AI = A’I’ suy ra AG song song và bằng A’G’

Vậy tứ giác AGG’A’ là hình bình hành

Do đó, GG’ song song và bằng AA’

b. B₁C₁ cắt II’ tại I₁ thì I₁ là trung điểm của B₁C₁

Vì G₁ thuộc A₁I₁ và AA₁ // GG₁ // II₁ nên \({{{G_1}{A_1}} \over {{A_1}{I_1}}} = {{GA} \over {AI}} = {2 \over 3}\)

Vậy G₁ là trọng tâm tam giác A₁B₁C₁

c. Xét hình bình hành AII’A’. Gọi L, L’ lần lượt là trung điểm của AG và A’G’, L₁ là giao điểm của LL’ và A₁I₁

Khi đó L₁ là trung điểm của A₁G₁

Theo định lí về đường trung bình của hình thang ta có :

\(2{G_1}G' = {L_1}L'+{I_1}I' \)\(= {1 \over 2}\left( {{A_1}A' + {G_1}G'} \right) + {I_1}I'\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + \frac{1}{2}{G_1}G' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow {G_1}G' = \frac{1}{3}{A_1}A' + \frac{2}{3}{I_1}I'\end{array}\)

Suy ra: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + 2{I_1}I'} \right)\)

Mặt khác: 2I₁I’ = B₁B’ + C₁C’

Vậy: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)

Chinh phục đỉnh cao Toán 11 và đặt nền móng vững chắc cho cánh cửa Đại học với nội dung Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao trong chuyên mục toán lớp 11 trên nền tảng đề thi toán! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Giải chi tiết Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao

Bài tập 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình Hình học không gian, cụ thể là phần về đường thẳng và mặt phẳng. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Điều kiện để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của d lên (P).
Các định lý liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Đề bài Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải

Để tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD), ta thực hiện các bước sau:

Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (ABCD). Vì SA vuông góc với (ABCD) nên hình chiếu của S lên (ABCD) là điểm A.
Xác định hình chiếu của đường thẳng SC lên mặt phẳng (ABCD). Gọi H là hình chiếu của C lên SA. Khi đó, CH vuông góc với SA. Do đó, AC là hình chiếu của SC lên (ABCD).
Tính độ dài AC. Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a√2.
Tính góc giữa SC và (ABCD). Góc giữa SC và (ABCD) chính là góc SCA.
Trong tam giác vuông SAC, ta có: tan SCA = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2.
Suy ra, SCA = arctan(1/√2) ≈ 35.26°.

Kết luận

Vậy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là arctan(1/√2) ≈ 35.26°.

Các dạng bài tập tương tự

Ngoài bài tập Câu 5 trang 78, SGK Hình học 11 Nâng cao còn có nhiều bài tập tương tự liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Các em học sinh có thể tham khảo các bài tập sau:

Bài tập 6 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao
Bài tập 7 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao
Các bài tập trong sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Mẹo giải bài tập

Để giải tốt các bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, các em học sinh cần:

Nắm vững các định nghĩa, định lý và tính chất liên quan.
Vẽ hình chính xác và trực quan.
Sử dụng các công thức và phương pháp giải phù hợp.
Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.

Ứng dụng thực tế

Kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như kiến trúc, xây dựng, kỹ thuật, và thiết kế.

Ví dụ

Trong kiến trúc, việc tính toán góc nghiêng của mái nhà, góc giữa các mặt phẳng của tòa nhà, hoặc góc giữa các đường ống dẫn nước đòi hỏi phải áp dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Hy vọng với lời giải chi tiết và những kiến thức bổ ích trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao và có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự.