Câu 24 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 24 Trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao: Phân tích chi tiết và Hướng dẫn Giải

Bài toán Câu 24 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xác định mối quan hệ giữa các vectơ trong không gian, tính toán độ dài vectơ, tích vô hướng và ứng dụng chúng để chứng minh các tính chất hình học.

I. Đề bài và Yêu cầu

Để bắt đầu, chúng ta cần xem xét lại đề bài chính xác của Câu 24 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao. (Giả sử đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)).

II. Phương pháp Giải và Kiến thức Liên quan

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

• Vectơ trong không gian: Định nghĩa, các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực.
• Tích vô hướng của hai vectơ: Công thức tính, ứng dụng để tính góc giữa hai vectơ.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cách xác định và tính toán góc này thông qua tích vô hướng.
• Hình chóp: Các yếu tố cơ bản, tính chất của hình chóp.

III. Lời giải chi tiết

Bước 1: Chọn hệ tọa độ

Chọn A làm gốc tọa độ, AB làm trục Ox, AD làm trục Oy, AS làm trục Oz. Khi đó, ta có các tọa độ sau:

• A(0; 0; 0)
• B(a; 0; 0)
• C(a; a; 0)
• D(0; a; 0)
• S(0; 0; a)

Bước 2: Tìm vectơ SC

SC = (a - 0; a - 0; 0 - a) = (a; a; -a)

Bước 3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD)

Mặt phẳng (ABCD) có phương trình z = 0, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n = (0; 0; 1)

Bước 4: Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)

Gọi α là góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). Ta có:

sin α = |SC.n| / (||SC|| * ||n||)

SC.n = (a; a; -a).(0; 0; 1) = -a

||SC|| = √(a² + a² + (-a)²) = √(3a²)= a√3

||n|| = √(0² + 0² + 1²) = 1

sin α = |-a| / (a√3 * 1) = 1/√3

α = arcsin(1/√3) ≈ 35.26°

Kết luận: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là khoảng 35.26°.

IV. Các Dạng Bài Tập Tương Tự

Ngoài Câu 24 trang 23, SGK Hình học 11 Nâng cao còn có nhiều bài tập tương tự yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ và hình học không gian. Một số dạng bài tập thường gặp:

• Chứng minh các đường thẳng song song, vuông góc.
• Chứng minh các mặt phẳng song song, vuông góc.
• Tính khoảng cách giữa hai điểm, giữa điểm và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng.
• Xác định các yếu tố của hình chóp, hình tứ diện.

V. Lời khuyên khi giải bài tập Hình học không gian

Để giải tốt các bài tập Hình học không gian, bạn nên:

1. Nắm vững các định nghĩa, tính chất cơ bản.
2. Luyện tập thường xuyên các bài tập từ dễ đến khó.
3. Vẽ hình minh họa để hình dung rõ hơn về bài toán.
4. Sử dụng hệ tọa độ để giải quyết các bài toán phức tạp.
5. Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 24 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao. Chúc bạn học tốt!