Bài toán này thường liên quan đến các kiến thức về vectơ, hình học không gian và các phép biến hình. Việc nắm vững phương pháp giải bài toán này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi làm bài kiểm tra và thi cử.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu và chính xác nhất cho Câu 21 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao.
Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định lí Menelaus để giải bài toán
Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :
\({{MB} \over {MC}}.{{NC} \over {NA}}.{{PA} \over {PB}} = 1\)
Lời giải chi tiết
Trong (ABC), gọi {I} = PR ∩ AC
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {PQR} \right) \cap \left( {ABC} \right) = PR\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AC\\\left( {PQR} \right) \cap \left( {ACD} \right) = Qt\\AC \cap PR = I\end{array} \right.\\ \Rightarrow I \in Qt\end{array}\)
Trong mp(ACD) gọi {S} = QI ∩ AD
Thì {S} = AD ∩ (PQR)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với cát tuyến PRI ta có
\({{PA} \over {PB}}.{{RB} \over {RC}}.{{IC} \over {IA}} = 1 \)\(\Rightarrow 1.2.{{IC} \over {IA}} = 1\)
\( \Rightarrow {{IC} \over {IA}} = {1 \over 2}\) ⇒ C là trung điểm của AI.
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD với cát tuyến IQS ta có :
\({{IC} \over {IA}}.{{SA} \over {SD}}.{{QD} \over {QC}} = 1 \Rightarrow {1 \over 2}.{{SA} \over {SD}}.1 = 1 \)
\(\Rightarrow SA = 2SD\,\,\left( {dpcm} \right)\)
Câu 21 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh các bài toán liên quan đến vectơ trong không gian, đặc biệt là các bài toán chứng minh đẳng thức vectơ, tính độ dài vectơ, và xác định mối quan hệ giữa các vectơ. Để giải quyết hiệu quả bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Để giải Câu 21 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Giả sử đề bài yêu cầu chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình bình hành. Ta có thể sử dụng phương pháp vectơ để giải quyết bài toán này như sau:
Ngoài việc chứng minh đẳng thức vectơ, Câu 21 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao còn có thể xuất hiện các dạng bài tập sau:
Khi giải các bài toán về vectơ, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Câu 21 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản, áp dụng các phương pháp giải phù hợp và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết bài toán này và đạt kết quả tốt trong môn Hình học.
