Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về hàm số, đồ thị hàm số, hoặc các phép biến đổi đại số để tìm ra lời giải chính xác.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
a. Chứng minh rằng
Chứng minh rằng \(\sin {\pi \over {12}} = {{\sqrt 3 - 1} \over {2\sqrt 2 }}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{& \sin {\pi \over {12}} = \sin \left( {{\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right) \cr & = \sin {\pi \over 3}\cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos {\pi \over 3} \cr & = {{\sqrt 3 } \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2}.{1 \over 2} \cr & = {{\sqrt 6 - \sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over 4} \cr & = {{\sqrt 3 - 1} \over {2\sqrt 2 }} \cr} \)
Giải các phương trình \(2\sin x – 2\cos x =1 - \sqrt 3 \) bằng cách biến đổi vế trái về dạng \(C\sin(x + α)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{& 2\sin x - 2\cos x = 1 - \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x - {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \cr & \Leftrightarrow \sin x.\cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos x = - \sin {\pi \over {12}} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = \sin \left( { - {\pi \over {12}}} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - {\pi \over 4} = - {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr {x - {\pi \over 4} = \pi + {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi } \cr} } \right.\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)
Giải phương trình \(2\sin x – 2\cos x =1 - \sqrt 3 \) bằng cách bình phương hai vế.
Lời giải chi tiết:
Chú ý rằng \(1 - \sqrt 3 < 0\), ta đặt điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\) rồi bình phương hai vế của phương trình thì được :
\(\eqalign{& 4\left( {1 - \sin 2x} \right) = 4 - 2\sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x = {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k\pi } \cr {x = {\pi \over 3} + k\pi } \cr}\,\,(k\in\mathbb Z) } \right. \cr} \)
Thử vào điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\), ta thấy :
* Họ nghiệm \(x = {\pi \over 6} + k\pi \) thỏa mãn điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\) khi và chỉ khi \(k\) chẵn, tức là \(x = {\pi \over 6} + 2m\pi \) với \(m \in\mathbb Z\).
* Họ nghiệm \(x = {\pi \over 3} + k\pi \) thỏa mãn điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\) khi và chỉ khi \(k\) lẻ, tức là \(x = {\pi \over 3} + \left( {2m + 1} \right)\pi = {{4\pi } \over 3} + 2m\pi \) với \(m \in\mathbb Z\).
Ta có kết quả như đã nêu ở câu b.
Câu 48 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường thuộc các dạng bài tập liên quan đến việc xét tính đơn điệu của hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, hoặc giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Trước khi bắt tay vào giải bài toán, học sinh cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu của bài toán và các dữ kiện đã cho. Sau đó, lập kế hoạch giải bài toán một cách logic và khoa học. Ví dụ, nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, học sinh có thể thực hiện các bước sau:
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết của câu 48 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Ví dụ, giả sử bài toán là tìm tập xác định của hàm số f(x) = √(x² - 4x + 3).)
Để hàm số f(x) = √(x² - 4x + 3) xác định, điều kiện cần và đủ là x² - 4x + 3 ≥ 0. Ta giải bất phương trình này:
x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) ≥ 0
Bất phương trình có nghiệm khi x ≤ 1 hoặc x ≥ 3.
Vậy tập xác định của hàm số f(x) là D = (-∞; 1] ∪ [3; +∞).
Ngoài câu 48 trang 48, SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao còn có nhiều bài tập tương tự khác. Để nâng cao kỹ năng giải bài tập, học sinh có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Để giải các bài tập nâng cao trong chương trình Đại số và Giải tích 11, học sinh cần:
Câu 48 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập điển hình để rèn luyện kỹ năng giải toán. Bằng cách nắm vững kiến thức cơ bản, lập kế hoạch giải bài toán một cách logic và khoa học, học sinh có thể giải quyết bài toán này một cách hiệu quả. Hy vọng với lời giải chi tiết và các gợi ý trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và ôn luyện.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Đạo hàm | Tốc độ thay đổi tức thời của hàm số. |
| Tính đơn điệu | Hàm số tăng hoặc giảm trên một khoảng. |
| Cực trị | Điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cục bộ. |
