Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3 trong SGK Toán 11 Nâng cao tập trung vào một trong những khái niệm quan trọng nhất của hình học không gian: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hiểu rõ về điều kiện, tính chất và ứng dụng của mối quan hệ này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.

I. Khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều kiện để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

Ví dụ: Xét đường thẳng d và mặt phẳng (P). Nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm I nằm trong (P), thì d vuông góc với (P).

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Có hai điều kiện chính để xác định một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng:

Điều kiện 1: Đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P).
Điều kiện 2: Đường thẳng d vuông góc với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và đường thẳng đó vuông góc với một đường thẳng khác nằm trong (P).

III. Tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại điểm H, thì:

d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P) đi qua H.
Mọi mặt phẳng (Q) chứa d đều vuông góc với (P).

IV. Ứng dụng của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong giải toán

Kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng được ứng dụng rộng rãi trong việc:

Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Chứng minh các mối quan hệ vuông góc trong không gian.

Ví dụ minh họa: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải: Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với AC. Do đó, tam giác SAC vuông tại A. Góc giữa SC và (ABCD) chính là góc SCA. Ta có tan SCA = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2. Suy ra SCA ≈ 35.26°.

V. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC). Chứng minh rằng SA vuông góc với BC.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng AC vuông góc với mặt phẳng (A'B'C'D').
Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) trong hình chóp S.ABCD ở ví dụ trên.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - SGK Toán 11 Nâng cao. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan.

Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán!