Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và mối quan hệ giữa các vectơ để giải quyết các vấn đề liên quan đến hình học không gian.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Cho điểm S có hình chiếu trên mp(P) là H. Với điểm M bất kì trên (P) (M không trùng H), ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng :
Đề bài
Cho điểm S có hình chiếu trên mp(P) là H. Với điểm M bất kì trên (P) (M không trùng H), ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng :
a. Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau.
b. Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào dài hơn thì có hình chiếu dài hơn và ngược lại, đường xiên nào có đường chiếu dài hơn thì dài hơn.
Lời giải chi tiết
a. Giả sử HM, HN lần lượt là hình chiếu của SM, SN.
*Nếu SM = SN thì ΔSHM = ΔSHN (cạnh huyền - cạnh góc vuông) nên HM = HN
Ngược lại nếu HM = HN thì ΔSHM = ΔSHN (2 cạnh góc vuông) nên SM = SN
Vậy SM = SN ⇔ HM = HN
b. Áp dụng định lí Pytago, ta có :
SM2 = SH2 + HM2 và SN2 = SH2 + HN2
\(\eqalign{ & \Rightarrow S{M^2} - H{M^2} \cr &= S{N^2} - H{N^2}\left( { = S{H^2}} \right) \cr & \Rightarrow S{M^2} - S{N^2} = H{M^2} - H{N^2} \cr} \)
Từ đó suy ra : SM > SN ⇔ HM > HN (đpcm)
Bài toán Câu 14 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh việc chứng minh các đẳng thức vectơ, xác định mối quan hệ giữa các điểm trong không gian, hoặc tính toán các yếu tố hình học dựa trên các vectơ đã cho. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Để minh họa, giả sử bài toán Câu 14 trang 102 yêu cầu chứng minh đẳng thức vectơ AB + CD = AD + CB với A, B, C, D là bốn điểm bất kỳ trong không gian. Lời giải có thể được trình bày như sau:
Theo quy tắc cộng vectơ, ta có:
AB + CD = (B - A) + (D - C) = B + D - A - C
AD + CB = (D - A) + (B - C) = D + B - A - C
Do đó, AB + CD = AD + CB (đpcm)
Ngoài bài toán Câu 14 trang 102, còn rất nhiều dạng bài tập tương tự liên quan đến vectơ trong hình học không gian. Dưới đây là một số dạng bài tập phổ biến và phương pháp giải:
Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng AA' + BB' + CC' = 3AB.
Lời giải: Sử dụng quy tắc cộng vectơ và tính chất của hình hộp để chứng minh đẳng thức.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh rằng GA + GB + GC = 0.
Lời giải: Sử dụng định nghĩa trọng tâm và quy tắc cộng vectơ để chứng minh đẳng thức.
Câu 14 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình để rèn luyện kỹ năng giải toán vectơ trong không gian. Bằng cách nắm vững kiến thức cơ bản, áp dụng các phương pháp giải phù hợp, và luyện tập thường xuyên, bạn có thể tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan đến vectơ.
