Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Một tứ diện được gọi là gần đều nếu các cạnh đối bằng nhau từng đôi một. Với tứ diện ABCD, chứng tỏ các tính chất sau là tương đương :
Đề bài
Một tứ diện được gọi là gần đều nếu các cạnh đối bằng nhau từng đôi một. Với tứ diện ABCD, chứng tỏ các tính chất sau là tương đương :
a. Tứ diện ABCD là gần đều ;
b. Các đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện đôi một vuông góc với nhau ;
c. Các trọng tuyến (đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện) bằng nhau ;
d. Tổng các góc tại mỗi đỉnh bằng 180˚
Lời giải chi tiết
* Chứng minh a ⇔ b
Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
a ⇒ b. Do AC = BD nên MNPQ là hình thoi, vì thế MN ⊥ PQ. Tương tự ta có MN ⊥ EF, PQ ⊥ EF.
b) ⇒ a. MPNQ là hình bình hành mà MN ⊥ PQ nên MPNQ là hình thoi, tức là MP = MQ, từ đó AC = BD.
Tương tự như trên, ta cũng có BC = AD, AB = CD.
* Chứng minh a ⇔ c
Gọi A’, B’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD và ACD.
a) ⇒ c. Ta có ΔBCD = ΔADC (c.c.c) nên BN = AN, từ đó A’N = B’N.
Vậy ΔAA’N = ΔBB’N (c.g.c), suy ra AA’ = BB’.
Tương tự như trên, ta có điều phải chứng minh.
c) ⇒ a. Do giả thiết ta có BB’ = AA’, mà AA’ cắt BB’ tại G, AG = 3GA’, BG = 3GB’ (xem BT 22, chương II, SGK), từ đó BG = AG và GA’ = GB’. Các tam giác BGA’ và AGB’ bằng nhau nên BA’ = AB’.
Như vậy BN = AN, mà :
\(\eqalign{ & A{C^2} + A{D^2} = 2A{N^2} + {{C{D^2}} \over 2} \cr & B{C^2} + B{D^2} = 2B{N^2} + {{C{D^2}} \over 2} \cr} \)
Do đó \(A{C^2} + A{D^2} = B{C^2} + B{D^2}\) (1)
Tương tự như trên ta có : \(C{A^2} + C{B^2} = D{A^2} + D{B^2}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra AD = BC và AC = BD.
Tương tự như trên ta cũng có AB = CD.
* Chứng minh a ⇔ d
a) ⇒ d. Do sự bằng nhau của các tam giác ABC, CDA, BAD với tam giác DCB nên tổng các góc tại B bằng 180˚
Đối với các đỉnh còn lại cũng được lí luận tương tự như trên.
d) ⇒ a. Trải các mặt ABC, ACD, ABD lên mặt phẳng (BCD).
Do tổng các góc tại B cũng như tại C, tại D đều bằng 180˚ nên các bộ ba điểm A1, C, A2; A2, D, A3; A3, B, A1 là những bộ ba điểm thẳng hàng.
Như vậy, BC, CD, BD là ba đường trung bình của tam giác A1A2A3. Từ đó BD = A1C = CA2 = CA. Tương tự ta cũng có AD = BC, CD = AB.
Câu 7 trang 121 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình học Hình học không gian, cụ thể là phần vectơ trong không gian. Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về phép toán vectơ, tích vô hướng, tích có hướng để chứng minh các mối quan hệ hình học hoặc tính toán các đại lượng liên quan.
Để hiểu rõ hơn về bài toán, chúng ta cần xem lại nội dung chính của Câu 7 trang 121. Thông thường, bài toán sẽ cho một hình chóp hoặc một tứ diện, và yêu cầu chứng minh một đẳng thức vectơ, một tính chất song song, vuông góc, hoặc tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Có một số phương pháp giải bài toán vectơ trong không gian thường được sử dụng:
Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh rằng trong hình chóp S.ABCD, với A, B, C, D là các điểm cố định, và S là một điểm di động trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, thì vectơ SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Lời giải:
Gọi O là tâm của mặt phẳng (ABCD). Vì S di động trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A, nên SA vuông góc với (ABCD). Do đó, SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (ABCD), trong đó có AC và AD. Xét tích vô hướng SC.AB. Ta có SC = SA + AC. Vậy SC.AB = (SA + AC).AB = SA.AB + AC.AB. Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA.AB = 0. Do đó SC.AB = AC.AB. Tương tự, ta có SC.AD = AC.AD. Từ đây, ta có thể suy ra SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài toán vectơ trong không gian, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú ý phân tích kỹ đề bài, xác định các vectơ liên quan, và lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Trong quá trình giải bài tập, nếu gặp khó khăn, đừng ngần ngại tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên, bạn bè, hoặc các nguồn tài liệu trực tuyến. Quan trọng nhất là bạn cần hiểu rõ bản chất của bài toán và các kiến thức liên quan.
| Công Thức | Mô Tả |
|---|---|
| a.b = |a||b|cos(θ) | Tích vô hướng của hai vectơ a và b |
| |a x b| = |a||b|sin(θ) | Độ lớn của tích có hướng của hai vectơ a và b |
Hy vọng với lời giải chi tiết và các kiến thức bổ ích trên, bạn sẽ tự tin giải quyết Câu 7 trang 121 SGK Hình học 11 Nâng cao và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
