Bài 6. Phép vị tự

Phép vị tự là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết nhiều bài toán liên quan đến sự đồng dạng của các hình. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất và ứng dụng của phép vị tự, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa cụ thể để giúp bạn nắm vững kiến thức.

1. Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M’, O, M thẳng hàng và OM’ = k.OM, với O là tâm vị tự, k là tỉ số vị tự (k > 0).

2. Tính chất của phép vị tự

Phép vị tự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép vị tự V(O, k) biến điểm M(x, y) thành điểm M’(x’, y’) thì:

x’ = k(x - x_O) + x_O
y’ = k(y - y_O) + y_O

Trong đó O(x_O, y_O) là tâm vị tự, k là tỉ số vị tự.

4. Ứng dụng của phép vị tự

Phép vị tự được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và thực tế, bao gồm:

Chứng minh sự đồng dạng của các hình.
Giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ và kích thước.
Thiết kế các mô hình và bản vẽ kỹ thuật.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(1, 2), B(3, 4), C(5, 1). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự V(O, 2) với O(0, 0).

Giải:

A’(2(1-0) + 0, 2(2-0) + 0) = A’(2, 4)
B’(2(3-0) + 0, 2(4-0) + 0) = B’(6, 8)
C’(2(5-0) + 0, 2(1-0) + 0) = C’(10, 2)

Ví dụ 2: Cho đường tròn (C) có tâm I(2, -1) và bán kính r = 3. Tìm phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự V(O, -1) với O(1, 0).

Giải:

Tâm I’ của đường tròn (C’) là ảnh của I qua phép vị tự V(O, -1):

x_I’ = -1(2 - 1) + 1 = 0
y_I’ = -1(-1 - 0) + 0 = 1

Vậy I’(0, 1). Bán kính của đường tròn (C’) là r’ = |-1|r = 3. Phương trình đường tròn (C’) là:

(x - 0)² + (y - 1)² = 3² hay x² + (y - 1)² = 9

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép vị tự, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com để luyện tập và củng cố kiến thức.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về phép vị tự. Chúc bạn học tập tốt!