Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về hàm số, đạo hàm, hoặc các khái niệm khác đã được học để tìm ra lời giải chính xác.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán tương tự.
Tìm các giới hạn sau :
\(\lim {{{n^2} + 4n - 5} \over {3{n^3} + {n^2} + 7}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu của các biểu thức cần tính giới hạn cho lũy thừa bậc cao nhất của n.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \lim {{{n^2} + 4n - 5} \over {3{n^3} + {n^2} + 7}} \cr &= \lim {{{n^3}\left( {{1 \over n} + {4 \over {{n^2}}} - {5 \over {{n^3}}}} \right)} \over {{n^3}\left( {3 + {1 \over n} + {7 \over {{n^3}}}} \right)}} \cr & = \lim {{{1 \over n} + {4 \over {{n^2}}} - {5 \over {{n^3}}}} \over {3 + {1 \over n} + {7 \over {{n^3}}}}} = {0 \over 3} = 0 \cr} \)
\(\lim {{{n^5} + {n^4} - 3n - 2} \over {4{n^3} + 6{n^2} + 9}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \lim {{{n^5} + {n^4} - 3n - 2} \over {4{n^3} + 6{n^2} + 9}} \cr &= \lim {n^2}{{{n^3}\left( {1 + {1 \over n} - {3 \over {{n^4}}} - {2 \over {{n^5}}}} \right)} \over {{n^3}\left( {4 + {6 \over n} + {9 \over {{n^3}}}} \right)}} \cr & = {{\mathop{\rm limn}\nolimits} ^2}{{\left( {1 + {1 \over n} - {3 \over {{n^4}}} - {2 \over {{n^5}}}} \right)} \over {\left( {4 + {6 \over n} + {9 \over {{n^3}}}} \right)}} = + \infty \cr} \)
Vì \(\lim {n^2} = + \infty \) và \(\lim \dfrac{{1 + \frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^4}}} - \frac{2}{{{n^5}}}}}{{4 + \frac{6}{n} + \frac{9}{{{n^3}}}}} = \dfrac{1}{4} > 0\).
\(\lim {{\sqrt {2{n^4} + 3n - 2} } \over {2{n^2} - n + 3}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \lim {{\sqrt {2{n^4} + 3n - 2} } \over {2{n^2} - n + 3}} \cr & = \lim \frac{{\sqrt {{n^4}\left( {2 + \frac{3}{{{n^3}}} - \frac{2}{{{n^4}}}} \right)} }}{{{n^2}\left( {1 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}\cr &= \lim {{{n^2}\sqrt {2 + {3 \over {n^3}} - {2 \over {{n^4}}}} } \over {{n^2}\left ({2 - {1 \over n} + {3 \over{ {n^2}}}}\right )}} \cr & = \lim {{\sqrt {2 + {n \over 3} - {2 \over {{n^2}}}} } \over {2 - {1 \over n} + {3 \over {{n^2}}}}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
\(\lim {{{3^n} - {{2.5}^n}} \over {7 + {{3.5}^n}}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho 5n
Lời giải chi tiết:
Chia cả tử và mẫu cho 5n ta được:
\(\eqalign{& \lim {{{3^n} - {{2.5}^n}} \over {7 + {{3.5}^n}}} = \lim \frac{{\frac{{{3^n}}}{{{5^n}}} - 2}}{{\frac{7}{{{5^n}}} + 3}}\cr &= \lim {{{{\left( {{3 \over 5}} \right)}^n} - 2} \over {7.{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^n} + 3}} = - {2 \over 3} \cr & \text{vì}\,\,\lim {\left( {{3 \over 5}} \right)^n} = \lim {\left( {{1 \over 5}} \right)^n} = 0 \cr} \)
Bài toán Câu 16 trang 143 trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường thuộc dạng bài tập ứng dụng thực tế, đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ lý thuyết và kỹ năng giải toán. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần phân tích đề bài một cách cẩn thận, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu cần tìm.
Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng xem lại đề bài Câu 16 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. (Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Phân tích đề bài, ta thấy yêu cầu chính là tìm ra tọa độ các điểm cực trị của hàm số đã cho. Để làm được điều này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất
y = x^3 - 3x^2 + 2
y' = 3x^2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm nghi ngờ là cực trị
y' = 0 ⇔ 3x^2 - 6x = 0
⇔ 3x(x - 2) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 2
Vậy, x = 0 và x = 2 là các điểm nghi ngờ là cực trị.
Bước 3: Xét dấu của y'
Ta xét các khoảng sau:
Từ bảng xét dấu, ta thấy:
Bước 4: Tính tọa độ các điểm cực trị
Khi x = 0, y = (0)^3 - 3(0)^2 + 2 = 2. Vậy điểm cực đại là (0; 2).
Khi x = 2, y = (2)^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2. Vậy điểm cực tiểu là (2; -2).
Kết luận: Hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 đạt cực đại tại điểm (0; 2) và đạt cực tiểu tại điểm (2; -2).
Để hiểu sâu hơn về bài toán này, bạn có thể thực hành với các bài tập tương tự. Hãy thử thay đổi hệ số của hàm số hoặc các điều kiện khác để xem kết quả thay đổi như thế nào. Việc này sẽ giúp bạn củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán.
Ngoài ra, bạn có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của đạo hàm trong thực tế, chẳng hạn như việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 16 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!
