Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
\(y = \tan {{x + 1} \over 2}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
Lời giải chi tiết:
\(y' = \left( {\dfrac{{x + 1}}{2}} \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{{x + 1}}{2}}}\) \(\displaystyle = {1 \over {2{{\cos }^2}{{x + 1} \over 2}}}\)
\(y = \cot \sqrt {{x^2} + 1} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
Lời giải chi tiết:
\(y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\)\( = \left( {{x^2} + 1} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\) \( = \dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\(\displaystyle = {{ - x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}.{1 \over {{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
\(y = {\tan ^3}x + \cot 2x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
Lời giải chi tiết:
\(y' = 3{\tan ^2}x\left( {\tan x} \right)' + \left( {2x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}2x}}\) \( = 3{\tan ^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\) \(\displaystyle = {{3{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - {2 \over {{{\sin }^2}2x}}\)
\(y = \tan 3x - \cot 3x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
Lời giải chi tiết:
\(y' = \left( {3x} \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}3x}} - \left( {3x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}3x}}\) \(\displaystyle = {3 \over {{{\cos }^2}3x}} + {3 \over {{{\sin }^2}3x}} = {{12} \over {{{\sin }^2}6x}}\)
\(y = \sqrt {1 + 2\tan x} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
Lời giải chi tiết:
\(y' = \left( {1 + 2\tan x} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\) \( = 2\left( {\tan x} \right)'.\dfrac{1}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\) \( = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\dfrac{1}{{\sqrt {1 + 2\tan x} }}\) \(\displaystyle = {1 \over {{\sqrt {1 + 2\tan x}.{\cos }^2}x }}\)
\(y = x\cot x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm hợp và các công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
Lời giải chi tiết:
\(y' = x'\cot x + x.\left( {\cot x} \right)'\) \( = \cot x + x.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\) \(\displaystyle = \cot x - {x \over {{{\sin }^2}x}}\)
Bài toán Câu 31 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
(Đề bài cụ thể sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Xét hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Hãy xét tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng (-∞; 0), (0; 2), (2; +∞).)
Để xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta thực hiện các bước sau:
(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước tính toán, lập luận và kết luận. Ví dụ:)
Bước 1: Tính đạo hàm
f'(x) = 3x^2 - 6x
Bước 2: Tìm điểm tới hạn
3x^2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Lập bảng xét dấu f'(x)
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Bước 4: Kết luận
Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Để hiểu sâu hơn về tính đơn điệu của hàm số, bạn có thể thực hành với các bài tập tương tự. Hãy chú ý đến việc xác định đúng tập xác định của hàm số và các điểm không xác định của đạo hàm. Ngoài ra, việc vẽ đồ thị hàm số cũng giúp bạn hình dung rõ hơn về tính đơn điệu của hàm số.
Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 31 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tốt!
