Bài toán này thường liên quan đến các kiến thức về vectơ, hình học không gian và các phép biến hình. Việc nắm vững phương pháp giải bài toán này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi làm bài kiểm tra và thi cử.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu và chính xác nhất cho Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao.
Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng
a. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PQ, RS, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy
b. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy
Lời giải chi tiết
a. Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (PQRS).
Ta có:
(PQRS) ∩ (ABC) = PQ
(PQRS) ∩ (ACD) = RS
(ABC) ∩ (ACD) = AC
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì PQ, SR, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
Ngược lại, nếu ba đường thẳng PQ, AC, RS hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PQ và RS cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.
b. Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (PQRS).
Ta có:
(PQRS) ∩ (ABD) = PS
(PQRS) ∩ (BCD) = RQ
(ABD) ∩ (BCD) = BD
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
Ngược lại, nếu ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PS và RQ cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.
Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh việc vận dụng kiến thức về vectơ trong không gian để chứng minh các tính chất hình học hoặc giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của các điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, tích vô hướng, tích có hướng, và các phương pháp tọa độ trong không gian.
Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh một điểm thuộc một mặt phẳng. Thông thường, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết bài toán này. Cụ thể, chúng ta sẽ:
(Ở đây sẽ trình bày lời giải chi tiết của bài toán, bao gồm các bước thực hiện, các phép tính, và các kết luận. Lời giải cần được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, và có đầy đủ các giải thích cần thiết.)
Ngoài bài toán Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao, còn rất nhiều bài tập tương tự khác trong chương trình Hình học 11 Nâng cao. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán về vị trí tương đối, tính chất hình học, và các bài toán ứng dụng thực tế.
Để giải quyết các bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần:
Dưới đây là một số bài tập luyện tập để giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và rèn luyện kỹ năng giải bài toán:
Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về vectơ và ứng dụng của nó trong hình học không gian. Việc nắm vững phương pháp giải bài toán này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi làm bài kiểm tra và thi cử. Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và các hướng dẫn cụ thể, học sinh có thể tự giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
| Khái niệm | Công thức | Ứng dụng |
|---|---|---|
| Tích vô hướng | a.b = |a||b|cos(θ) | Tính góc, độ dài, kiểm tra vuông góc |
| Tích có hướng | [a,b] = |a||b|sin(θ)n | Tìm vectơ pháp tuyến, diện tích |
