Bài tập ôn tập chương III

Bài tập ôn tập chương III - SGK Toán 11 Nâng cao: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Chương III trong SGK Toán 11 Nâng cao là một phần quan trọng, đặt nền móng cho việc học Hình học không gian ở các lớp trên. Chương này tập trung vào việc nghiên cứu vectơ trong không gian ba chiều, các phép toán vectơ, và đặc biệt là các ứng dụng của vectơ trong việc xác định và chứng minh các quan hệ vuông góc.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và định lý sau:

Vectơ trong không gian: Định nghĩa, các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực.
Tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa, tính chất, ứng dụng để tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc.
Tích có hướng của hai vectơ: Định nghĩa, tính chất, ứng dụng để tính diện tích hình bình hành, thể tích hình hộp.
Quan hệ vuông góc: Điều kiện để hai vectơ vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.

II. Các dạng bài tập thường gặp

Chương III thường xuất hiện các dạng bài tập sau:

Bài tập về tích vô hướng: Tính góc giữa hai vectơ, chứng minh tính vuông góc, tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc.
Bài tập về tích có hướng: Tính diện tích hình bình hành, thể tích hình hộp, tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Bài tập về quan hệ vuông góc: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
Bài tập kết hợp: Sử dụng các kiến thức về vectơ để giải các bài toán hình học không gian phức tạp.

III. Hướng dẫn giải bài tập

Để giải tốt các bài tập trong chương này, bạn cần:

Nắm vững định nghĩa và tính chất của các phép toán vectơ.
Hiểu rõ ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng.
Sử dụng các công thức và định lý một cách linh hoạt.
Vẽ hình để minh họa và tìm ra hướng giải quyết.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (1; 2; -1) và b = (2; -1; 3). Tính góc giữa hai vectơ a và b.

Giải:

Ta có: a.b = 1*2 + 2*(-1) + (-1)*3 = 2 - 2 - 3 = -3

|a| = √(1² + 2² + (-1)²) = √6

|b| = √(2² + (-1)² + 3²) = √14

Gọi θ là góc giữa hai vectơ a và b. Ta có:

cos θ = (a.b) / (|a| * |b|) = -3 / (√6 * √14) = -3 / √(84) = -3 / (2√21)

Vậy θ = arccos(-3 / (2√21))

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Hãy giải các bài tập trong SGK Toán 11 Nâng cao chương III để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng. Giaibaitoan.com sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập, giúp bạn hiểu rõ hơn về các khái niệm và phương pháp giải.

Chúc bạn học tốt!