Giải Câu 4 Trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao

Giải Câu 4 Trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao

Bài tập Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học Hình học 11. Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng vào hình học không gian.

Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập này.

Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mp(P), cạnh AB và AC lần lượt tạo với mp(P) các góc β và γ. Gọi α là góc tạo bởi mp(P) và mp(ABC). Chứng minh rằng

Đề bài

Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mp(P), cạnh AB và AC lần lượt tạo với mp(P) các góc β và γ. Gọi α là góc tạo bởi mp(P) và mp(ABC). Chứng minh rằng \({\sin ^2}\alpha = {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao 1

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao 2

Kẻ AH ⊥ mp(P) và AI ⊥ BC.

Khi đó HB là hình chiếu của AB trên (P) nên góc giữa AB và (P) bằng góc giữa AB và HB hay \(\beta = \widehat {ABH}\)

HC là hình chiếu của AC trên (P) nên góc giữa AC và (P) bằng góc giữa AC và HC hay \(\gamma = \widehat {ACH}\)

Lại có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BC\\AH \bot BC\left( {AH \bot \left( P \right)} \right)\end{array} \right. \) \(\Rightarrow BC \bot \left( {AIH} \right) \Rightarrow BC \bot HI\)

Mà \(BC \bot AI\) và \(\left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = BC\) nên góc giữa (ABC) và (P) bằng góc giữa AI và HI hay \(\alpha = \widehat {AIH}.\) (do \(\widehat {AIH}<90^0\)).

Vì ΔABC vuông ở A nên :

\(\eqalign{ & {1 \over {A{I^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {A{C^2}}} \cr & \Rightarrow {{A{H^2}} \over {A{I^2}}} = {{A{H^2}} \over {A{B^2}}} + {{A{H^2}} \over {A{C^2}}} \cr & hay\,\,{\sin ^2}\alpha = {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma \cr} \)

Chinh phục đỉnh cao Toán 11 và đặt nền móng vững chắc cho cánh cửa Đại học với nội dung Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao trong chuyên mục toán 11 trên nền tảng môn toán! Bộ bài tập toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Giải Chi Tiết Câu 4 Trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao thường liên quan đến việc xác định mối quan hệ giữa các vectơ trong không gian, tính độ dài vectơ, tích vô hướng của các vectơ, và ứng dụng để chứng minh các tính chất hình học.

Phân Tích Đề Bài và Xác Định Yêu Cầu

Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng nhất là phải đọc kỹ đề bài, hiểu rõ yêu cầu và xác định các dữ kiện đã cho. Xác định rõ hình vẽ (nếu có) và các điểm, đường thẳng, mặt phẳng liên quan.

Kiến Thức Cần Thiết

Để giải quyết bài toán này, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:

Vectơ trong không gian: Định nghĩa, các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực.
Tích vô hướng của hai vectơ: Công thức tính, ứng dụng để tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra vuông góc.
Các tính chất của tích vô hướng: Tính giao hoán, phân phối, tính chất liên quan đến độ dài vectơ.
Ứng dụng của vectơ trong hình học không gian: Chứng minh các tính chất của hình, tính diện tích, thể tích.

Lời Giải Chi Tiết

(Phần này sẽ chứa lời giải chi tiết cho Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao. Lời giải sẽ bao gồm các bước giải cụ thể, giải thích rõ ràng từng bước, và sử dụng các công thức, định lý liên quan. Ví dụ, nếu đề bài yêu cầu chứng minh một tính chất hình học, lời giải sẽ trình bày các bước chứng minh logic và chặt chẽ.)

Ví Dụ Minh Họa

Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta hãy xem xét một ví dụ minh họa:

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp. Đặt A là gốc tọa độ, AB là trục Ox, AD là trục Oy, AS là trục Oz.
Bước 2: Xác định tọa độ của các điểm. A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,a).
Bước 3: Tìm vectơ SC. SC = (a-0, a-0, 0-a) = (a, a, -a).
Bước 4: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD). Vì mặt phẳng (ABCD) là mặt phẳng Oxy, nên vectơ pháp tuyến của nó là k(0,0,1) (k là một số thực khác 0). Ta có thể chọn n = (0,0,1).
Bước 5: Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa vectơ SC và vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (ABCD). Gọi góc đó là φ. Ta có: cos φ = |SC.n| / (|SC| * |n|).
Bước 6: Tính toán và kết luận. SC.n = (a, a, -a).(0,0,1) = -a. |SC| = √(a² + a² + (-a)²) = a√3. |n| = 1. Vậy cos φ = |-a| / (a√3 * 1) = 1/√3. Suy ra φ = arccos(1/√3).

Các Dạng Bài Tập Liên Quan

Ngoài Câu 4 trang 120, còn rất nhiều bài tập tương tự trong SGK Hình học 11 Nâng cao. Các bài tập này thường yêu cầu:

Tính độ dài vectơ, tích vô hướng của các vectơ.
Chứng minh các tính chất hình học bằng vectơ.
Tìm góc giữa hai vectơ, giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Xác định mối quan hệ giữa các vectơ trong không gian.

Mẹo Giải Bài Tập

Để giải các bài tập về vectơ trong không gian một cách hiệu quả, bạn nên:

Vẽ hình minh họa để hình dung rõ bài toán.
Chọn hệ tọa độ thích hợp để đơn giản hóa bài toán.
Sử dụng các công thức, định lý liên quan một cách chính xác.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Tổng Kết

Câu 4 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán về vectơ trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và các kiến thức, mẹo giải trên, bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với bài toán này và các bài tập tương tự.