Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về hàm số, đạo hàm, hoặc các chủ đề khác đã được học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Hãy chứng minh
Đề bài
Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}.\)
Lời giải chi tiết
+) Với \(n = 2\) ta có : \({1 \over 3} + {1 \over 4} = {7 \over {12}} > {{13} \over {24}}\)
Như vậy (1) đúng khi \(n = 2\)
+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k > 2\), tức là giả sử
\({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}}\)
+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh
\({1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} > {{13} \over {24}}\)
Thật vậy , ta có:
\(\eqalign{& {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} - {1 \over {k + 1}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)} \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}} \cr} \)
(theo giả thiết quy nạp)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên \(n > 1\).
Bài tập Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường thuộc các dạng bài tập liên quan đến việc áp dụng các kiến thức về hàm số, đạo hàm, giới hạn, hoặc các phương trình, bất phương trình. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững lý thuyết, hiểu rõ bản chất của các khái niệm toán học và rèn luyện kỹ năng giải toán thường xuyên.
(Nội dung đề bài cụ thể sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x^3 - 3x + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Để giải quyết bài tập này, chúng ta sẽ áp dụng các bước sau:
Giải:
(Lời giải chi tiết, từng bước, kèm theo giải thích rõ ràng sẽ được trình bày ở đây. Ví dụ:)
1. Tập xác định của hàm số y = f(x) = x^3 - 3x + 2 là D = R.
2. Đạo hàm bậc nhất của hàm số là f'(x) = 3x^2 - 3.
3. Giải phương trình f'(x) = 0, ta được 3x^2 - 3 = 0 => x^2 = 1 => x = 1 hoặc x = -1.
4. Đạo hàm bậc hai của hàm số là f''(x) = 6x.
- Tại x = 1, f''(1) = 6 > 0, vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. Giá trị cực tiểu là f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0.
- Tại x = -1, f''(-1) = -6 < 0, vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1. Giá trị cực đại là f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4.
5. Vậy hàm số y = f(x) = x^3 - 3x + 2 đạt cực đại tại điểm (-1, 4) và đạt cực tiểu tại điểm (1, 0).
Ngoài Câu 5 trang 100, SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao còn có nhiều bài tập tương tự khác. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:
Để học tốt môn Toán nâng cao lớp 11, các em học sinh cần:
Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số và đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập này và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
