Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Cho dãy hình vuông H1, H2, …, Hn,…
Giả sử dãy số (un) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số (pn) và (Sn) có phải là các cấp số cộng hay không ? Vì sao ?
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết ta có :
\({p_n} = 4{u_n}\text{ và }{S_n} = u_n^2\) với mọi \(n \in N^*\)
Gọi d là công sai của cấp số cộng (un) , d ≠ 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :
\({p_{n + 1}} - {p_n} = 4{u_{n + 1}} - 4{u_n}\)
\(= 4\left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = 4d\) (không đổi)
Vậy (pn) là cấp số cộng.
\({S_{n + 1}} - {S_n} = u_{n + 1}^2 - u_n^2\)
\(= \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right) \)
\(= d\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right)\) không là hằng số (do d ≠ 0)
Vậy (Sn) không là cấp số cộng.
Giả sử dãy số (un) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (pn) và (Sn) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?
Lời giải chi tiết:
Gọi q là công bội của cấp số nhân (un), q > 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :
\({{{p_{n + 1}}} \over {{p_n}}} = {{4{u_{n + 1}}} \over {4{u_n}}} = q\) (không đổi)
\({{{S_{n + 1}}} \over {{S_n}}} = {{u_{n + 1}^2} \over {u_n^2}} = {\left( {\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}} \right)^2}= {q^2}\) (không đổi)
Từ đó suy ra các dãy số (pn) và (Sn) là cấp số nhân.
Câu 49 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng này là nền tảng quan trọng cho các chương trình học toán cao hơn.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cho một hàm số cụ thể và yêu cầu:
Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần áp dụng các phương pháp sau:
Giả sử hàm số được cho trong đề bài là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là R (tập hợp tất cả các số thực).
Đạo hàm bậc nhất: f'(x) = 3x2 - 6x
Đạo hàm bậc hai: f''(x) = 6x - 6
Giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Kiểm tra đạo hàm bậc hai tại các điểm này:
f''(0) = -6 < 0, do đó x = 0 là điểm cực đại.
f''(2) = 6 > 0, do đó x = 2 là điểm cực tiểu.
f'(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 2, do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
f'(x) < 0 khi 0 < x < 2, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Dựa vào các thông tin đã tìm được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị sẽ có điểm cực đại tại (0, 2) và điểm cực tiểu tại (2, -2).
Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý:
Việc khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Hy vọng với lời giải chi tiết này, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 49 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nâng cao kỹ năng giải toán của mình!
