Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho dãy số (un) xác định bởi
Chứng minh rằng dãy số (vn), với vn = un + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
Phương pháp giải:
Cộng cả hai vế của đẳng thức đã cho với 2 để làm xuất hiện \(v_{n+1}\) và \(v_n\)
Lời giải chi tiết:
Với mọi n ≥ 1, ta có :
\({u_{n + 1}} = 5{u_n} + 8\)
\(\Rightarrow {u_{n + 1}} + 2 = 5{u_n} + 10 \)
\(\Leftrightarrow {u_{n + 1}} + 2 = 5\left( {{u_n} + 2} \right) \)
\(\Rightarrow {v_{n + 1}} = 5{v_n}\)
Do đó (vn) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}3\) và công bội q = 5.
Số hạng tổng quát : \({v_n} = {\rm{ }}{3.5^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\)
Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Phương pháp giải:
Sử dụng mối quan hệ giữa \(v_n\) và \(u_n\) kết hợp với số hạng TQ đã tìm được ở câu a để suy ra \(u_n\).
Lời giải chi tiết:
\({v_n} = {u_n} + 2 \)
\(\Rightarrow {u_n} = {v_n} - 2 = {3.5^{n - 1}} - 2\) với mọi \(n ≥ 1\)
Câu 43 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Để bắt đầu, chúng ta cần xem xét kỹ đề bài Câu 43 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. (Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Để tìm các điểm cực trị của hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất
f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm làm cho f'(x) = 0
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định
Bước 4: Kết luận về điểm cực trị
Vì f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x = 0, nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 03 - 3(0)2 + 2 = 2.
Vì f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại x = 2, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = 23 - 3(2)2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.
Hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2 đạt cực đại tại điểm (0, 2) và đạt cực tiểu tại điểm (2, -2).
Khi giải các bài toán về đạo hàm, cần chú ý đến các bước sau:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
Câu 43 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán điển hình về ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm các điểm cực trị của hàm số. Việc nắm vững phương pháp giải bài toán này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán tương tự và hiểu sâu hơn về kiến thức đạo hàm.
