Câu hỏi và bài tập ôn tập chương III

Chương III: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân - Tổng quan

Chương III trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Nâng cao đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học ở các lớp trên. Chương này giới thiệu về dãy số, một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng, và hai loại dãy số đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan đến các loại dãy số này là điều kiện cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế và các bài toán nâng cao.

1. Dãy số

Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập con của nó. Mỗi phần tử của dãy số được gọi là một số hạng. Dãy số có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Để hiểu rõ hơn về dãy số, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

• Số hạng tổng quát: Công thức biểu diễn số hạng thứ n của dãy số.
• Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số không đổi: Phân loại dãy số dựa trên sự thay đổi của các số hạng.

2. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau đều lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) số hạng trước một lượng không đổi, gọi là công sai (d). Các công thức quan trọng của cấp số cộng bao gồm:

• Số hạng tổng quát: u_n = u₁ + (n-1)d
• Tổng n số hạng đầu tiên: S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n-1)d]

3. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau đều bằng số hạng trước nhân với một lượng không đổi, gọi là công bội (q). Các công thức quan trọng của cấp số nhân bao gồm:

• Số hạng tổng quát: u_n = u₁ * q^(n-1)
• Tổng n số hạng đầu tiên: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

4. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho cấp số cộng có u₁ = 2 và d = 3. Tìm u₁₀ và S₁₀.

Giải:

u₁₀ = u₁ + (10-1)d = 2 + 9*3 = 29

S₁₀ = 10/2 * (u₁ + u₁₀) = 5 * (2 + 29) = 155

Bài 2: Cho cấp số nhân có u₁ = 1 và q = 2. Tìm u₅ và S₅.

Giải:

u₅ = u₁ * q^(5-1) = 1 * 2⁴ = 16

S₅ = u₁ * (1 - q⁵) / (1 - q) = 1 * (1 - 2⁵) / (1 - 2) = 31

5. Ứng dụng của dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Các kiến thức về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học, như:

• Tài chính: Tính lãi kép, tính giá trị tương lai của khoản đầu tư.
• Vật lý: Mô tả các hiện tượng dao động, sóng.
• Sinh học: Mô tả sự tăng trưởng của quần thể.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về chương III, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Hãy bắt đầu với các bài tập cơ bản trong SGK, sau đó nâng dần độ khó bằng cách giải các bài tập nâng cao và các đề thi thử. Giaibaitoan.com cung cấp một nguồn tài liệu phong phú và đa dạng, giúp bạn tự tin chinh phục chương học này.

7. Kết luận

Chương III - Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một chương học quan trọng, đòi hỏi sự nỗ lực và kiên trì. Hy vọng rằng với những kiến thức và bài tập được cung cấp trên giaibaitoan.com, bạn sẽ học tập hiệu quả và đạt được kết quả tốt nhất.