Bài 4. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Hiểu rõ về cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số và chuỗi số trong chương trình Toán 11 Nâng cao.

I. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

II. Các tính chất của cấp số nhân

Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
- Nếu q = 1: S_n = n.a
- Nếu q ≠ 1: S_n = a.(1 - qⁿ) / (1 - q)

III. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức u_n = a.q^n-1, ta có: u₅ = 2.3^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = -2. Tính tổng 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức S_n = a.(1 - qⁿ) / (1 - q), ta có: S₆ = 1.(1 - (-2)⁶) / (1 - (-2)) = (1 - 64) / 3 = -63 / 3 = -21.

IV. Ứng dụng của cấp số nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Lãi kép: Tính toán số tiền lãi sau một thời gian nhất định khi gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất cố định.
Sự tăng trưởng dân số: Mô hình hóa sự tăng trưởng dân số theo thời gian.
Phản ứng hạt nhân: Mô tả sự phân rã của các chất phóng xạ.

V. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức về cấp số nhân, bạn có thể thực hành thêm các bài tập sau:

Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân có u₁ = 5 và q = 2.
Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có u₁ = 3 và q = -1.
Một hình vuông có cạnh bằng 1. Người ta nối trung điểm các cạnh của hình vuông để tạo thành một hình vuông mới. Tiếp tục quá trình này. Tính diện tích của hình vuông thứ 5.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cấp số nhân và có thể áp dụng kiến thức này để giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn học tập tốt!