Câu 4 trang 54 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 4 Trang 54 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Phân tích chi tiết và Hướng dẫn Giải

Câu 4 trang 54 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xét tính đơn điệu của hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước, hoặc giải phương trình, bất phương trình liên quan đến hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:

• Đạo hàm: Khái niệm đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit).
• Tính đơn điệu của hàm số: Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số. Hàm số đồng biến khi đạo hàm dương, nghịch biến khi đạo hàm âm.
• Cực trị của hàm số: Điều kiện để hàm số đạt cực đại, cực tiểu.
• Ứng dụng của đạo hàm: Giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết Câu 4 Trang 54 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể về Câu 4 trang 54 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giả sử bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

1. Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
2. Tìm điểm dừng: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2.
3. Lập bảng biến thiên:

   x	-∞	0	2	+∞
   f'(x)	+	-	+
   f(x)	↗	↘	↗

4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm dừng và đầu mút của đoạn:
   • f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² + 2 = -2
   • f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2
   • f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = -2
   • f(3) = 3³ - 3(3)² + 2 = 2
5. Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là 2 (đạt được tại x = 0 và x = 3). Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là -2 (đạt được tại x = -1 và x = 2).

Mẹo Giải nhanh và Lưu ý quan trọng

Để giải nhanh các bài toán tương tự, học sinh nên:

• Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản.
• Sử dụng bảng biến thiên để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
• Kiểm tra kỹ các điều kiện của bài toán (ví dụ: đoạn, khoảng, miền xác định của hàm số).
• Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.

Ứng dụng thực tế của việc giải Câu 4 Trang 54 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Kiến thức về đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, như:

• Kinh tế: Phân tích chi phí, lợi nhuận, tối ưu hóa sản lượng.
• Vật lý: Tính vận tốc, gia tốc, quỹ đạo của vật thể.
• Kỹ thuật: Thiết kế mạch điện, điều khiển hệ thống tự động.

Tổng kết

Câu 4 trang 54 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm, tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể giải quyết bài toán này một cách hiệu quả và áp dụng kiến thức vào thực tế.