Bài tập Câu 1 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học Hình học không gian lớp 11. Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vector, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu và phương pháp giải bài tập này một cách hiệu quả, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
Đề bài
Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a. Xét bốn tam giác APN, PBM, NMC, MNP. Tìm phép dời hình biến tam giác APN lần lượt thành một trong ba tam giác còn lại.
b. Phép vị tự nào biến tam giác ABC thành tam giác MNP ?
c. Xét tam giác có ba đỉnh là trực tâm của ba tam giác APN, PBM và NCM. Chứng tỏ rằng tam giác đó bằng tam giác APN. Chứng minh điều đó cũng đúng nếu thay trực tâm bằng trọng tâm, hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp hoặc tâm đường tròn nội tiếp.
Lời giải chi tiết
a. Phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {AP} }}\) biến tam giác APN thành tam giác PBM.
Phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {AN} }}\) biến tam giác APN thành tam giác NMC. Phép đối xứng tâm ĐJ, với J là trung điểm của PN, biến tam giác APN thành tam giác MNP.
b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {GM} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GN} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GP} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GC} .\)
Vậy phép vị tự tâm G, tỉ số \(k = - {1 \over 2}\) biến tam giác ABC thành tam giác MNP.
c. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là trực tâm của tam giác APN, PBM, NMC.
Phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {AP} }}\) biến APN thành tam giác PBM nên biến H1 thành H2, tức là \(\overrightarrow {{H_1}{H_2}} = \overrightarrow {AP} \,hay\,\overrightarrow {A{H_1}} = \overrightarrow {P{H_2}} .\) Tương tự ta có \(\overrightarrow {{H_1}{H_3}} = \overrightarrow {AN} \,hay\,\overrightarrow {A{H_1}} = \overrightarrow {N{H_3}} .\)
Vậy \(\overrightarrow {A{H_1}} = \overrightarrow {P{H_2}} = \overrightarrow {N{H_3}} .\) Từ đó suy ra phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {A{H_1}} \) biến tam giác APN thành tam giác H1H2H3.
Đối với các trường hợp khác (trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp), chứng minh hoàn toàn tương tự.
Câu 1 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao thường liên quan đến việc xác định mối quan hệ giữa các vector, kiểm tra tính đồng phẳng của ba vector, hoặc tìm tọa độ của một điểm trong không gian. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Để giải Câu 1 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng các bước sau:
Giả sử đề bài yêu cầu kiểm tra xem ba vector a = (1; 2; 3), b = (2; -1; 1), c = (3; 1; 2) có đồng phẳng hay không. Để giải bài toán này, ta tính tích hỗn hợp của ba vector:
[a, b, c] = a . (b x c) = (1; 2; 3) . (( -1 * 2 - 1 * 1); (1 * 3 - 2 * 2); (2 * 1 - (-1) * 3)) = (1; 2; 3) . (-3; -1; 5) = 1 * (-3) + 2 * (-1) + 3 * 5 = -3 - 2 + 15 = 10
Vì tích hỗn hợp [a, b, c] khác 0, nên ba vector a, b, c không đồng phẳng.
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vector, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Ngoài SGK Hình học 11 Nâng cao, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tập và ôn luyện:
Câu 1 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vector, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản, áp dụng phương pháp giải bài tập hiệu quả và luyện tập thường xuyên, bạn có thể tự tin giải quyết bài toán này và đạt kết quả tốt trong môn Hình học.
