Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và mối quan hệ giữa các vectơ để giải quyết các vấn đề liên quan đến hình học không gian.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
Cho hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD và
AB ⊥ CD;
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \cr &= \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) \cr &= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \cr & = AB.AD.\cos \widehat {BAD} - AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 0 \cr & \Rightarrow AB \bot CD. \cr} \)
(Vì AD=AC và \(\widehat {BAD}=\widehat {BAC}=60^0\).
Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \(IJ \bot AB\) và \(IJ \bot CD.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AJ} \cr & = {1 \over 2}\overrightarrow {BA} + {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} } \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \cr} \)
Suy ra :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2}} \right) \cr & ={1 \over 2} \left( {AB.AD.\cos 60^\circ } + AB.AC.\cos 60^\circ - A{B^2} \right) \cr&= 0 \cr & \Rightarrow AB \bot IJ \cr} \)
Mặt khác :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {IJ} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) \cr & = {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} + {{\overrightarrow {AD} }^2} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BA} - {{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} } \right) \cr & = - {1 \over 2}\overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AD} } \right) = - {1 \over 2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0 \cr & \Rightarrow CD \bot IJ \cr} \)
Câu 11 trang 96 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình học Hình học không gian, cụ thể là phần vectơ trong không gian. Bài toán này thường kiểm tra khả năng vận dụng các định lý, tính chất về vectơ để chứng minh các mối quan hệ hình học.
Trước khi bắt đầu giải, học sinh cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hình vẽ hoặc một mô tả về hình không gian, cùng với một số vectơ. Yêu cầu có thể là tính độ dài của một vectơ, tìm góc giữa hai vectơ, chứng minh ba điểm thẳng hàng, hoặc chứng minh một vectơ bằng tổng của các vectơ khác.
Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Có nhiều phương pháp giải bài toán vectơ trong không gian, tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán. Một số phương pháp thường được sử dụng:
Đề bài: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng vectơ MM' vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Lời giải:
Gọi O là gốc tọa độ. Đặt A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;b;0), D(0;b;0), A'(0;0;c), B'(a;0;c), C'(a;b;c), D'(0;b;c). Khi đó, M có tọa độ (a/2; 0; 0) và M' có tọa độ (a/2; 0; c).
Vectơ MM' = (0; 0; c). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là n = (0; 0; 1).
Ta có MM'.n = 0.0 + 0.0 + c.1 = c. Vì c khác 0, nên MM' vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài toán vectơ trong không gian, học sinh nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Có thể tìm các bài tập trong SGK, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com.
Ngoài các kiến thức cơ bản về vectơ, học sinh có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của vectơ trong các lĩnh vực khác như vật lý, kỹ thuật, và khoa học máy tính.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| |a| = √(x2 + y2 + z2) | Độ dài của vectơ a = (x; y; z) |
| a.b = x1x2 + y1y2 + z1z2 | Tích vô hướng của hai vectơ a và b |
| cos(a, b) = (a.b) / (|a||b|) | Góc giữa hai vectơ a và b |
Hy vọng với lời giải chi tiết và các kiến thức được cung cấp, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải Câu 11 trang 96 SGK Hình học 11 Nâng cao và các bài tập tương tự.
