Giải Câu 47 Trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học.

Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.

Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

a. Cho hàm số

LG a

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan x.\) Tính \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) với n = 1, 2, 3.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\tan x} \right)' = 1 + {\tan ^2}x\)

Lời giải chi tiết:

f’(x) = 1 + tan²x

f’’(x) = 2tanx(1 + tan²x) = 2tanx + 2tan³x

f⁽³⁾(x) = 2(1 + tan²x) + 2.3tan²x(1 + tan²x)

= 2+ 2tan²x + 6tan²x+ 6tan⁴x

= 2+ 8tan²x+ 6tan⁴x

LG b

Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)

Phương pháp giải:

Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.

Lời giải chi tiết:

\({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\) (1)

Với n = 1 ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2\sin x\cos x= \sin 2x\\f"\left( x \right) = 2\cos 2x\\{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - 4\sin 2x\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\cos 2x = - {2^{4.1 - 1}}\cos 2x\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k - 1}}\cos 2x\)

Với n = k + 1 ta có :

\(\begin{array}{l}{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left( {{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right)} \right)' = {2^{4k}}\sin 2x\\{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 3}}\cos 2x \\= - {2^{4\left( {k + 1} \right) - 1}}\cos 2x\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.

Chinh phục đỉnh cao Toán 11 và đặt nền móng vững chắc cho cánh cửa Đại học với nội dung Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao trong chuyên mục toán lớp 11 trên nền tảng toán! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Giải Chi Tiết Câu 47 Trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

Nội dung Bài Toán

Để bắt đầu, chúng ta cần xem xét kỹ đề bài Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. (Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)

Phương Pháp Giải

Để tìm các điểm cực trị của hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất f'(x): Đạo hàm của hàm số y = f(x) cho ta biết độ dốc của tiếp tuyến tại mỗi điểm trên đồ thị hàm số.
Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không tồn tại: Các điểm này là các điểm nghi ngờ là cực trị.
Khảo sát dấu của f'(x) khi x đi qua các điểm nghi ngờ: Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua một điểm, thì điểm đó là điểm cực đại. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua một điểm, thì điểm đó là điểm cực tiểu.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: Giá trị này cho ta biết tọa độ y của các điểm cực trị.

Giải Chi Tiết

Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Tìm các điểm mà f'(x) = 0

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2

Bước 3: Khảo sát dấu của f'(x)

Khi x < 0, f'(x) > 0 (hàm số đồng biến)
Khi 0 < x < 2, f'(x) < 0 (hàm số nghịch biến)
Khi x > 2, f'(x) > 0 (hàm số đồng biến)

Từ đó, ta thấy rằng:

Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, nên x = 0 là điểm cực đại.
Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, nên x = 2 là điểm cực tiểu.

Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị

f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2

f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2

Kết luận

Vậy, hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2 có:

Điểm cực đại là (0; 2)
Điểm cực tiểu là (2; -2)

Lưu Ý Quan Trọng

Khi giải các bài toán về đạo hàm, bạn cần chú ý đến các quy tắc tính đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm của các hàm số cơ bản như hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit. Ngoài ra, bạn cũng cần phải hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.