Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng vào giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {SA} = a\overrightarrow {SA'} ,\;\overrightarrow {SB} = b\overrightarrow {SB'} ,\;\overrightarrow {SC} = c\overrightarrow {SC} .\)
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì
\(\eqalign{ & \overrightarrow {SG} = {1 \over 3}.\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right) \cr & Vay\,\overrightarrow {SG} = {a \over 3}\overrightarrow {SA'} + {b \over 3}\overrightarrow {SB'} + {c \over 3}\overrightarrow {SC'} \cr} \)
Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi 4 điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo kết quả bài tập 5 (SGK trang 91) , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu \({a \over 3} + {b \over 3} + {c \over 3} = 1\) , tức là: a + b + c = 3.
Bài tập 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh việc áp dụng các kiến thức về vectơ trong không gian để chứng minh các tính chất hình học hoặc giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của các điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Trước khi bắt tay vào giải bài tập, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Sau đó, lập kế hoạch giải bài toán bằng cách:
Giả sử bài tập 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao yêu cầu chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D là đồng phẳng. Để giải bài toán này, ta có thể làm như sau:
Ngoài bài tập chứng minh đồng phẳng, Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao và các bài tập lân cận thường xuất hiện các dạng bài tập sau:
Để giải quyết các dạng bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về vectơ, mặt phẳng và đường thẳng trong không gian. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau sẽ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và nâng cao khả năng tư duy logic.
Khi giải các bài tập Hình học 11 Nâng cao, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng vào giải quyết các bài toán hình học không gian. Bằng cách nắm vững các khái niệm cơ bản, phân tích bài toán một cách cẩn thận và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự.
