Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Tìm giới hạn của các dãy số (un) với
\({u_n} = {{{3^n} + 1} \over {{2^n} - 1}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho 3n
Lời giải chi tiết:
\({u_n} = \frac{{{3^n}\left( {1 + \frac{1}{{{3^n}}}} \right)}}{{{3^n}\left( {\frac{{{2^n}}}{{{3^n}}} - \frac{1}{{{3^n}}}} \right)}} = {{1 + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \over {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}}}\)
\(\eqalign{& \lim \left[ {1 + {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \right] = 1 > 0\cr &\text{ và }\lim \left[ {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^n}} \right] = 0;\cr &{{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - {{\left( {{1 \over 3}}\right)}^n}} >0 \cr & \text{ nên }\,\lim {u_n} = + \infty \cr} \)
\({u_n} = {2^n} - {3^n}\)
Phương pháp giải:
Đặt 3n ra làm nhân tử chung và tính giới hạn.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& {u_n} = {3^n}\left[ {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 1} \right] \cr & \lim {3^n} = + \infty\cr &\text{ và }\lim \left[ {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 1} \right] = - 1 < 0 \cr &\text{ nên }{{\mathop{\rm lim}\nolimits}\,u _n} = - \infty \cr} \)
Câu 15 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học Đại số và Giải tích lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số, từ đó vẽ được đồ thị hàm số một cách chính xác.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cho một hàm số cụ thể và yêu cầu:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
Giả sử hàm số được cho trong đề bài là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là R.
Đạo hàm bậc nhất của hàm số là: f'(x) = 3x2 - 6x
Đạo hàm bậc hai của hàm số là: f''(x) = 6x - 6
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng:
Vậy, hàm số có cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
Giá trị cực đại là: f(0) = 2
Giá trị cực tiểu là: f(2) = -2
Dựa vào bảng xét dấu của f'(x), ta có:
Dựa vào các thông tin đã tìm được, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 15 trang 142 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tốt!
