Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và ứng dụng của vectơ trong hình học không gian.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD a. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy b. Gọi A’ là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’
Đề bài
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD
a. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy
b. Gọi A’ là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- G là trọng tâm tứ diện thì G là trung điểm của đoạn nối trung điểm hai cạnh đối của tứ diện.
- Định lí Menelaus: Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :
\({{MB} \over {MC}}.{{NC} \over {NA}}.{{PA} \over {PB}} = 1\)
Lời giải chi tiết
a. Gọi M, N là trung điểm của AB, CD.
G là trọng tâm tứ diện nên G là trung điểm của MN hay GM=GN.
Trong mp(ABN) gọi A’ là giao điểm của AG với trung tuyến BN của ΔBCD.
Ta chứng minh A' là trọng tâm tam giác BCD hay A’B = 2A’N.
Áp dụng định lí Menelaus trong ΔBMN với cát tuyến AGA’ ta có :
\({{AM} \over {AB}}.{{GN} \over {GM}}.{{A'B} \over {A'N}} = 1 \)\(\Rightarrow {1 \over 2}.1.{{A'B} \over {A'N}} = 1 \Rightarrow A'B = 2A'N\)
Vậy A’ là trọng tâm của ΔBCD
Tương tự BG ,CG, DG lần lượt đi qua trọng tâm B’, C’, D’ của tam giác ACD, ABD, ABC.
b. Chứng minh GA = 3GA’
Áp dụng định lí Menelaus trong ΔABA’ với cát tuyến MGN ta có :
\({{MA} \over {MB}}.{{GA'} \over {GA}}.{{NB} \over {NA'}} = 1 \)\(\Rightarrow 1.{{GA'} \over {GA}}.3 = 1 \)
\(\Rightarrow GA = 3GA'\,\,\left( {dpcm} \right)\)
Câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao thường liên quan đến việc chứng minh đẳng thức vectơ, xác định mối quan hệ giữa các vectơ, hoặc tính toán độ dài vectơ trong không gian. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Để giải Câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
Giả sử đề bài yêu cầu chứng minh rằng với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: overrightarrow{AB} + vecoring{BC} = vecoring{AC}.
Lời giải:
Theo quy tắc cộng vectơ, ta có: overrightarrow{AB} + vecoring{BC} = vecoring{AC}. Vậy, đẳng thức được chứng minh.
Câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao và các bài tập tương tự thường xuất hiện trong các dạng sau:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vectơ, bạn nên luyện tập thêm với các bài tập khác trong SGK Hình học 11 Nâng cao và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, bạn có thể tìm kiếm các bài giảng trực tuyến hoặc tham gia các khóa học luyện thi để được hướng dẫn chi tiết hơn.
Kiến thức về vectơ là nền tảng quan trọng cho việc học tập các môn học khác, đặc biệt là Vật lý và các môn khoa học kỹ thuật. Việc nắm vững kiến thức về vectơ giúp bạn hiểu rõ hơn về các khái niệm và hiện tượng trong thế giới xung quanh, đồng thời phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| overrightarrow{AB} = B - A | Vectơ AB bằng hiệu tọa độ của điểm B và điểm A |
| a.b = |a||b|cos(θ) | Tích vô hướng của hai vectơ |
| |a| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) | Độ dài của vectơ a |
Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với Câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao và các bài tập tương tự.
