Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Giải các phương trình sau :
\(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{& \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x \cr & \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \cos 2x \cr & \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 2\cos 2x\cos x + \cos 2x \cr & \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) - \cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2\cos x + 1 = 0} \cr {\sin 2x - \cos 2x = 0} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\cos x = - {1 \over 2}} \cr {\tan 2x = 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \cr {x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2}} \cr} } \right.,k \in\mathbb Z \cr} \)
\(\sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x \cr & \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin 5x\cr& \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = \sin 5x \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = \sin 5x \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{5x = x + {\pi \over 4} + k2\pi } \cr {5x = {{3\pi } \over 4} - x + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over {16}} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 3}} \cr} ,k \in\mathbb Z} \right. \cr} \)
\({1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {\sin 4x}}\)
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ : \(\sin4x ≠ 0\) (điều kiện này đã bao gồm \(\sin 2x ≠ 0\) và \(\cos2x ≠ 0\)).
Với điều kiện đó, ta có thể nhân hai vế của phương trình với \(\sin4x\) :
\(\eqalign{& {1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {\sin 4x}} \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {2\sin 2x\cos 2x}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{\cos 2x + \sin 2x}}{{\sin 2x\cos 2x}} = \frac{1}{{\sin 2x\cos 2x}}\cr& \Rightarrow \sin 2x + \cos 2x = 1\cr& \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cr& \Leftrightarrow \sin \left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = \sin {\pi \over 4} \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x+\frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4}+k2\pi } \cr {2x +\frac{\pi }{4}= \pi-\frac{\pi }{4} + k2\pi } \cr} } \right. \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)
Ta thấy : Nếu \(2x = k2π\) thì \(\sin2x = 0\); nếu \(2x = {\pi \over 2} + k2\pi \) thì \(\cos2x = 0\), nên các giá trị đó của \(x\) đều không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
\(\sin x + \cos x = {{\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(1 - \sin 2x \)
\(= {\cos ^2}x + {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x \)
\(= {\left( {\cos x - \sin x} \right)^2}\)
ĐKXĐ : \(\sin2x ≠ 1\).
Với điều kiện đó, ta có:
\(\eqalign{& \sin x + \cos x = {{\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} \cr & \Leftrightarrow \sin x + \cos x = {{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \over {{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}} \cr &\Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}} \cr&\Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x - \sin x}}\cr& \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - {1 \over {\cos x - \sin x}}} \right) = 0 \cr & +)\,\,\sin x + \cos x = 0\cr& \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \cr&\Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi \cr & +)\,\,{1 \over {\cos x - \sin x}} = 1 \cr&\Leftrightarrow \cos x - \sin x = 1 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\cr& \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over {\sqrt 2 }} \cr} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Bài toán Câu 42 trang 47 trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh các chủ đề về hàm số, đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các kỹ năng giải toán liên quan.
Trước khi đi vào lời giải, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Thông thường, bài toán sẽ yêu cầu:
Để giải Câu 42 trang 47, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Giả sử hàm số được cho là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
Bước 1: Tập xác định: Tập xác định của hàm số là R (tất cả các số thực).
Bước 2: Đạo hàm: f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 3: Điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2. Xét dấu f'(x), ta thấy:
Vậy, hàm số có cực đại tại x = 0, f(0) = 2 và cực tiểu tại x = 2, f(2) = -2.
Bước 4: Sự biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Bước 5: Đồ thị: (Mô tả cách vẽ đồ thị dựa trên các thông tin trên)
Khi giải Câu 42 trang 47 và các bài toán tương tự, học sinh cần lưu ý:
Các bài toán về hàm số và đạo hàm có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, như vật lý, kinh tế, và thống kê. Việc nắm vững kiến thức về hàm số và đạo hàm sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự trong sách giáo khoa hoặc các tài liệu tham khảo khác.
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Câu 42 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!
