Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hàm số
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( {4x - 1} \right)\). Chứng minh rằng với mọi x ta có \(\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 8.\) Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính f'(x) và đánh giá sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.
Lời giải chi tiết
Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:
\(f'\left( x \right) = 2.2\cos \left( {4x - 1} \right).\left[ { - \sin \left( {4x - 1} \right)} \right]4\) \( = - 8\sin 2\left( {4x - 1} \right)\)
Suy ra: \(\left| {f'\left( x \right)} \right| = 8\left| {\sin 2\left( {4x - 1} \right)} \right| \le 8\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
\(\eqalign{ & \sin 2\left( {4x - 1} \right) = \pm 1 \cr & \Leftrightarrow 2\left( {4x - 1} \right) = {\pi \over 2} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 16} + {{k\pi } \over 8} + {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over {16}}\left( {\pi + 4 + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)
Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững phương pháp giải bài toán này là nền tảng quan trọng cho việc học tập các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình.
(Đề bài cụ thể sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
(Lời giải chi tiết, từng bước giải, kèm theo giải thích rõ ràng sẽ được trình bày ở đây. Ví dụ:)
Bước 1: Tính đạo hàm cấp một
y' = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm cực trị
3x2 - 6x = 0
=> 3x(x - 2) = 0
=> x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Xác định loại cực trị
y'' = 6x - 6
Tại x = 0, y'' = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0
Tại x = 2, y'' = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị
y(0) = 2
y(2) = -2
Bước 5: Kết luận
Hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 2) với giá trị cực đại là 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (2; -2) với giá trị cực tiểu là -2.
Để hiểu rõ hơn về phương pháp giải, chúng ta cùng xét một ví dụ khác. (Ví dụ cụ thể sẽ được chèn vào đây)
Việc giải bài toán về khảo sát hàm số bằng đạo hàm có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như:
Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán thực tế bằng đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên, bạn đã nắm vững phương pháp giải bài toán này và tự tin áp dụng vào các bài tập khác.
