Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

I. Định nghĩa

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90°. Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta thường sử dụng đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng và nằm trong mặt phẳng còn lại. Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng còn lại.

II. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Có hai điều kiện chính để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau:

Điều kiện 1: Một đường thẳng nằm trong (P) vuông góc với (Q).
Điều kiện 2: Một đường thẳng nằm trong (Q) vuông góc với (P).

Chứng minh: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta cần chứng minh một trong hai điều kiện trên. Thông thường, ta sẽ sử dụng các tính chất về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh.

III. Tính chất

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong (P) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với (Q). Tương tự, bất kỳ đường thẳng nào nằm trong (Q) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với (P).

IV. Bài tập ví dụ và giải

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng (SAD) vuông góc với (SBC).

Giải:

Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với AD. Do đó, AD vuông góc với (SAD).
Vì AD vuông góc với (SAD) và AD song song với BC (do ABCD là hình vuông) nên BC vuông góc với (SAD).
Từ đó, (SBC) vuông góc với (SAD).

Ví dụ 2:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q). Trên (P) lấy điểm A, trên (Q) lấy điểm B sao cho AB = 5cm và góc giữa AB và (Q) là 30°. Tính khoảng cách từ A đến (Q).

Giải:

Gọi H là hình chiếu của A lên (Q). Khi đó, AH là khoảng cách từ A đến (Q). Ta có AH vuông góc với (Q) và do đó AH vuông góc với d. Trong tam giác ABH, ta có góc ABH = 30° và AB = 5cm. Suy ra AH = AB * sin(30°) = 5 * 0.5 = 2.5cm.

V. Luyện tập

Để củng cố kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Bài 1: Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc khi biết một đường thẳng nằm trong (P) vuông góc với (Q).
Bài 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) khi biết các vector pháp tuyến của chúng.
Bài 3: Giải các bài toán ứng dụng liên quan đến hai mặt phẳng vuông góc trong không gian.

VI. Kết luận

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc là một phần quan trọng trong chương trình Hình học lớp 11 Nâng cao. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập liên quan đến hai mặt phẳng vuông góc sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán không gian phức tạp.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã hiểu rõ hơn về bài học này. Chúc bạn học tập tốt!