CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM - SGK Toán 11 Nâng cao: Tổng quan

Chương V. Đạo hàm trong SGK Toán 11 Nâng cao là một trong những chương quan trọng nhất của môn Toán. Nó giới thiệu khái niệm đạo hàm, ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số.

1. Khái niệm đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0. Công thức tính đạo hàm:

f'(x₀) = lim_Δx→0 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

2. Ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm

Ý nghĩa hình học: Đạo hàm f'(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x₀.

Ý nghĩa vật lý: Trong vật lý, đạo hàm biểu thị vận tốc tức thời của một vật chuyển động. Nếu hàm số f(t) biểu thị quãng đường đi được của vật tại thời điểm t, thì đạo hàm f'(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t.

3. Các quy tắc tính đạo hàm

Để tính đạo hàm một cách nhanh chóng và hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm sau:

Quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = nx^n-1
Quy tắc đạo hàm của hàm số lượng giác: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, (tan x)' = 1/cos² x, (cot x)' = -1/sin² x
Quy tắc đạo hàm của hàm số mũ và logarit: (e^x)' = e^x, (a^x)' = a^xln a, (log_a x)' = 1/(xln a)
Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: (u ± v)' = u' ± v', (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v - uv')/v²
Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

4. Ứng dụng của đạo hàm

Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm được sử dụng để tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, giúp xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Đạo hàm giúp xác định các khoảng tăng, giảm của hàm số, giúp vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.
Giải các bài toán tối ưu hóa: Đạo hàm được sử dụng để giải các bài toán tối ưu hóa, tìm giá trị tối ưu của một đại lượng nào đó.

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về đạo hàm, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 1
Tìm đạo hàm của hàm số y = sin(2x)
Tính đạo hàm của hàm số g(x) = e^x + ln x
Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số h(x) = x³ - 3x² + 2

Kết luận

Chương V. Đạo hàm là một chương quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán toán học một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng kiến thức vào các bài toán thực tế để đạt được kết quả tốt nhất.