Giải Câu 32 Trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 32 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 32 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học.

Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết.

Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Chứng minh rằng :

LG a

Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức \(y' - {y^2} - 1 = 0\)

Phương pháp giải:

Tính y' rồi thay vào tính vế trái của các đẳng thức, kiểm tra bằng vế phải và kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\)

Do đó \(y' - {y^2} - 1 \) \(= \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - {\tan ^2}x - 1 = 0\)

LG b

Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = \left( {2x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}2x}} \) \(= - 2.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}2x}} = - 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right)\).

Do đó \(y' + 2{y^2} + 2 \) \(= - 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right) + 2{\cot ^2}2x + 2 = 0\)

Chinh phục đỉnh cao Toán 11 và đặt nền móng vững chắc cho cánh cửa Đại học với nội dung Câu 32 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao trong chuyên mục Sách giáo khoa Toán 11 trên nền tảng toán học! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Giải Chi Tiết Câu 32 Trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 32 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

Nội dung Bài Toán

Để bắt đầu, chúng ta cần xem xét kỹ đề bài Câu 32 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. (Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)

Phương Pháp Giải

Để tìm các điểm cực trị của hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất f'(x): Đạo hàm của hàm số y = f(x) cho ta biết độ dốc của tiếp tuyến tại mỗi điểm trên đồ thị hàm số.
Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không tồn tại: Các điểm này là các điểm nghi ngờ là điểm cực trị.
Khảo sát dấu của f'(x) xung quanh các điểm nghi ngờ: Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua một điểm, thì điểm đó là điểm cực đại. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua một điểm, thì điểm đó là điểm cực tiểu.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: Giá trị này cho ta biết tọa độ y của các điểm cực trị.

Giải Chi Tiết

Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Tìm các điểm mà f'(x) = 0

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2

Bước 3: Khảo sát dấu của f'(x)

Khi x < 0: f'(x) > 0 (hàm số đồng biến)
Khi 0 < x < 2: f'(x) < 0 (hàm số nghịch biến)
Khi x > 2: f'(x) > 0 (hàm số đồng biến)

Từ đó, ta thấy rằng:

Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, nên x = 0 là điểm cực đại.
Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, nên x = 2 là điểm cực tiểu.

Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị

f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2

f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2

Kết luận

Vậy, hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2 có:

Điểm cực đại là (0; 2)
Điểm cực tiểu là (2; -2)

Ứng Dụng của Bài Toán

Bài toán tìm cực trị hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước.
Xác định các điểm tối ưu trong các bài toán tối ưu hóa.
Phân tích sự biến thiên của hàm số.

Lưu Ý Khi Giải Bài Toán

Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số.
Chú ý đến các điểm mà đạo hàm không tồn tại.
Khảo sát dấu của đạo hàm một cách cẩn thận để xác định đúng loại điểm cực trị.

Bài Tập Tương Tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:

Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x⁴ - 4x² + 3.
Tìm các điểm cực trị của hàm số y = -x³ + 3x² - 2.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 32 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán tương tự!