Bài 5: Phép chiếu song song

Bài 5: Phép chiếu song song - SGK Toán 11 Nâng cao

I. Định nghĩa phép chiếu song song

Phép chiếu song song là một phép biến hình trong không gian, biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đường thẳng MM’ song song với một đường thẳng d cố định gọi là phương chiếu. Đường thẳng d được gọi là phương của phép chiếu song song.

Ký hiệu: φ_d(M) = M’

II. Tính chất của phép chiếu song song

1. Bảo toàn collinearity: Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ba điểm A’, B’, C’ cũng thẳng hàng.
2. Bảo toàn tỷ số: Nếu A, B, C thẳng hàng thì A’B’/BC’ = AB/BC.
3. Bảo toàn tính chất song song: Nếu hai đường thẳng song song thì hai đường thẳng chiếu của chúng cũng song song.
4. Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

III. Phép chiếu vuông góc

Một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song là phép chiếu vuông góc, trong đó phương chiếu d vuông góc với mặt phẳng chiếu P. Phép chiếu vuông góc có tính chất bảo toàn khoảng cách.

IV. Ứng dụng của phép chiếu song song

Phép chiếu song song có nhiều ứng dụng trong hình học không gian, đặc biệt trong việc xác định hình chiếu của một đối tượng lên một mặt phẳng. Nó cũng được sử dụng trong kỹ thuật và thiết kế để tạo ra các bản vẽ kỹ thuật.

V. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD. Hãy xác định hình chiếu song song của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) theo phương vuông góc với (ABCD).

Giải: Hình chiếu song song của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) theo phương vuông góc với (ABCD) chính là chân đường cao hạ từ S xuống (ABCD). Gọi H là chân đường cao đó, thì hình chiếu của S là điểm H.

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng song song a và b. Hãy chứng minh rằng hình chiếu song song của a và b lên một mặt phẳng (P) cũng là hai đường thẳng song song.

Giải: Gọi a’ và b’ lần lượt là hình chiếu song song của a và b lên mặt phẳng (P). Vì a song song với b, nên tồn tại một mặt phẳng (Q) chứa cả a và b. Khi đó, a’ song song với b’ vì chúng là hình chiếu song song của hai đường thẳng song song trên mặt phẳng (P).

VI. Luyện tập

• Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hãy xác định hình chiếu song song của điểm A lên mặt phẳng (A’B’C’D’) theo phương AA’.
• Bài 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Chứng minh rằng có duy nhất một đường thẳng d sao cho phép chiếu song song của a và b lên d là hai đường thẳng song song.

VII. Kết luận

Bài học về phép chiếu song song cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng trong hình học không gian. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép chiếu song song sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.