Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về hàm số, đạo hàm, hoặc các chủ đề khác đã được học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Giải các phương trình sau :
\(2{\tan ^2}x + 3 = {3 \over {\cos x}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow 2.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 3 = \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow 2.\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 3 = \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right) + 3 = \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}\end{array}\)
Đặt \(t = {1 \over {\cos x}}\left( {x \ne {\pi \over 2} + k\pi } \right)\)
Ta có:
\(\eqalign{ & 2\left( {{t^2} - 1} \right) + 3 = 3t \cr &\Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {t = 1} \cr {t = {1 \over 2}} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\cos x = 1} \cr {\cos x = 2\,\left( \text{loại} \right)} \cr } } \right. \cr &\Leftrightarrow x = k2\pi \cr} \)
Cách khác:
\({\tan ^2}x = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}}\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện : \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi \)
\(\eqalign{ & {\tan ^2}x = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}} \cr &\Leftrightarrow {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}} \cr & \Leftrightarrow {{1 - {{\cos }^2}x} \over {1 - {{\sin }^2}x}} = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}} = \frac{{1 + \cos x}}{{1 + \sin x}}\cr & \Leftrightarrow {{1 - {{\cos }^2}x} \over {1 - \sin x}} = 1 + \cos x \cr &(Do\, 1+\sin x\ne 0)\cr & \Rightarrow 1 - {\cos ^2}x = \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) \cr &\Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x} \right) - \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = 0 \cr &\Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x - 1 + \sin x} \right) = 0 \cr &\Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) = 0 \cr &\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + \cos x = 0\\\sin x = \cos x\end{array} \right.\cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\cos x = - 1} \cr {\tan x = 1} \cr } } \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = \pi + k2\pi } \cr {x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr }\left( {k \in\mathbb Z} \right) } \right. \cr} \)
\(\tan x + \tan 2x = {{\sin 3x} \over {\cos x}}\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)
\(\eqalign{ & {\mathop{\rm tanx}\nolimits} + tan2x = {{\sin 3x} \over {\cos x}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{\sin x\cos 2x + \cos x\sin 2x}}{{\cos x\cos 2x}} = \frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}}\cr &\Leftrightarrow {{\sin 3x} \over {\cos x\cos 2x}} = {{\sin 3x} \over {\cos x}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{\sin 3x - \sin 3x\cos 2x}}{{\cos x\cos 2x}} = 0\cr &\Rightarrow \sin 3x - \sin 3x\cos 2x=0 \cr &\Leftrightarrow \sin 3x\left( {1 - \cos 2x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\sin 3x = 0} \cr {\cos 2x = 1} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\sin 3x = 0} \cr {\sin x = 0} \cr } } \right.\cr &\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x = k\pi \end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow x = k{\pi \over 3},k \in\mathbb Z \cr} \)
Câu 6 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường thuộc vào các dạng bài tập về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị, và tính đơn điệu của hàm số.
Trước khi bắt đầu giải, hãy đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Thông thường, đề bài sẽ yêu cầu tìm cực trị, khoảng đơn điệu, hoặc giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước. Việc phân tích đề bài chính xác sẽ giúp bạn lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Giả sử đề bài yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Các kiến thức về khảo sát hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như kinh tế, kỹ thuật, và khoa học tự nhiên. Ví dụ, trong kinh tế, việc khảo sát hàm số chi phí có thể giúp doanh nghiệp tối ưu hóa sản lượng và lợi nhuận.
Câu 6 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và ứng dụng kiến thức vào thực tế. Bằng cách nắm vững các bước giải và thực hành thường xuyên, các em học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
