Câu 58 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải Chi Tiết Câu 58 Trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 58 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

Nội dung Bài Toán

Để bắt đầu, chúng ta cần xem xét kỹ đề bài Câu 58 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. (Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)

Phương Pháp Giải

Để tìm các điểm cực trị của hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm bậc nhất f'(x): Đạo hàm bậc nhất của hàm số cho biết độ dốc của tiếp tuyến tại mỗi điểm trên đồ thị hàm số.
2. Tìm các điểm làm đạo hàm bậc nhất bằng 0 (f'(x) = 0): Các điểm này là các điểm dừng của hàm số, có thể là điểm cực trị hoặc điểm uốn.
3. Xét dấu đạo hàm bậc nhất trên các khoảng xác định bởi các điểm dừng: Nếu đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm dừng, thì điểm đó là điểm cực đại. Nếu đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm dừng, thì điểm đó là điểm cực tiểu.
4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: Giá trị này là tọa độ y của các điểm cực trị.

Giải Chi Tiết

Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Tìm các điểm làm đạo hàm bậc nhất bằng 0

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2

Bước 3: Xét dấu đạo hàm bậc nhất

• Khoảng (-∞, 0): Chọn x = -1, f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 9 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0).
• Khoảng (0, 2): Chọn x = 1, f'(1) = 3(1)² - 6(1) = -3 < 0. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
• Khoảng (2, +∞): Chọn x = 3, f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 9 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2, +∞).

Bước 4: Kết luận

Tại x = 0, đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2.

Tại x = 2, đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 0.

Vậy, hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2 đạt cực đại tại điểm (0, 2) và cực tiểu tại điểm (2, 0).

Lưu Ý Quan Trọng

Khi giải các bài toán về đạo hàm, cần chú ý các điểm sau:

• Kiểm tra kỹ điều kiện xác định của hàm số: Đảm bảo rằng các phép toán đạo hàm được thực hiện trên miền xác định của hàm số.
• Sử dụng đúng các quy tắc tính đạo hàm: Áp dụng chính xác các quy tắc đạo hàm cơ bản và quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
• Phân tích kết quả một cách cẩn thận: Đảm bảo rằng các kết quả tìm được phù hợp với ngữ cảnh của bài toán và có ý nghĩa thực tế.

Ứng Dụng Của Bài Toán

Việc tìm điểm cực trị của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Trong các bài toán tối ưu hóa, việc tìm điểm cực trị giúp xác định các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong một khoảng xác định.
• Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số: Việc tìm điểm cực trị giúp xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, từ đó vẽ được đồ thị hàm số một cách chính xác.
• Giải quyết các bài toán thực tế: Trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật, việc tìm điểm cực trị giúp giải quyết các bài toán tối ưu hóa và tìm ra các giải pháp tốt nhất.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, bạn đã hiểu rõ cách giải Câu 58 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.