Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hai hình bình hành ABCD VÀ ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao cho MC = 2AM, NF = 2BN. Qua M, N, kẻ các đường thẳng song song với AB cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại M1, N1. Chứng minh rằng:
Đề bài
Cho hai hình bình hành ABCD VÀ ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao cho MC = 2AM, NF = 2BN. Qua M, N, kẻ các đường thẳng song song với AB cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại M1, N1. Chứng minh rằng:
a. MN // DE
b. M1N1 // mp(DEF)
c. mp(MNN1M1) // mp(DEF)
Lời giải chi tiết
a. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, ta có AO là trung tuyến và \({{AM} \over {AO}} = {{2AM} \over {AC}} = {2 \over 3}\)
⇒ M là trọng tâm của tam giác ABD , tương tự N là trọng tâm tam giác ABE
Gọi I là trung điểm của AB thì M, N lần lượt trên DI và EI
Trong tam giác IDE ta có: \({{IM} \over {ID}} = {{IN} \over {IE}} = {1 \over 3}\) nên MN // DE và \(MN = {1 \over 3}DE\)
b. Trong ∆FAB: NN1 // AB ⇒ \({{A{N_1}} \over {AF}} = {{BN} \over {BF}} = {1 \over 3}\)
Trong ∆DAC: MM1 // CD ⇒ \({{A{M_1}} \over {AD}} = {{AM} \over {AC}} = {1 \over 3}\)
Do đó \({{A{N_1}} \over {AF}} = {{A{M_1}} \over {AD}}\) nên M1N1 // DF
Mà DF ⊂ (DEF) suy ra M1N1 // mp(DEF)
c. Ta có : M1N1 // DF , NN1 // EF
mà M1N1 và NN1 cắt nhau và nằm trong mp(MNN1M1), còn DF và EF cắt nhau và nằm trong mp(DEF)
Vậy mp(MNN1M1) // mp(DEF)
Bài tập 4 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh việc áp dụng các kiến thức về vectơ, đặc biệt là các phép toán vectơ như cộng, trừ, nhân với một số thực, và tích vô hướng. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững định nghĩa, tính chất của vectơ, cũng như các công thức liên quan.
Đề bài cụ thể của Câu 4 trang 78 có thể thay đổi tùy theo phiên bản SGK, nhưng thường có dạng yêu cầu chứng minh một đẳng thức vectơ, tìm một điểm thỏa mãn một điều kiện nào đó liên quan đến vectơ, hoặc tính độ dài của một đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ.
Để giải các bài tập về vectơ nói chung và Câu 4 trang 78 nói riêng, có một số phương pháp thường được sử dụng:
Giả sử đề bài yêu cầu chứng minh rằng với tam giác ABC, nếu M là trung điểm của BC thì 2MA2 = AB2 + AC2 - BC2/2. Lời giải có thể như sau:
Ta có: MA = (AB + AC)/2 (theo quy tắc trung điểm)
Suy ra: 2MA = AB + AC
Bình phương hai vế: 4MA2 = (AB + AC)2 = AB2 + 2AB.AC + AC2
Mặt khác, theo công thức tính độ dài trung tuyến, ta có: 4MA2 = 2AB2 + 2AC2 - BC2
Từ đó suy ra: AB2 + 2AB.AC + AC2 = 2AB2 + 2AC2 - BC2
Hay: AB2 + AC2 - BC2 = 2AB.AC
Vậy: 2MA2 = AB2 + AC2 - BC2/2
Ngoài Câu 4 trang 78, học sinh có thể gặp các dạng bài tập tương tự như:
Để giải bài tập vectơ nhanh chóng và chính xác, bạn nên:
Để học tốt môn Hình học 11 Nâng cao, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải bài tập vectơ được trình bày trên đây, bạn sẽ tự tin hơn khi giải Câu 4 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao và các bài tập tương tự.
