Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về hàm số, đạo hàm, hoặc các khái niệm khác đã được học để tìm ra lời giải chính xác.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài toán tương tự.
Chứng minh rằng
Đề bài
Chứng minh rằng dãy số \(\displaystyle (u_n)\) với \(\displaystyle {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}\) là một dãy số giảm và bị chặn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\), chứng minh \(H<0\).
- Đánh giá \(u_{n}\) bị chặn dưới và bị chặn trên, tức là chỉ ra tồn tại các số thực \(m,M\) sao cho \(m \le {u_n} \le M\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\displaystyle \eqalign{& {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left( {3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} \cr&= {2 \over 3} + {5 \over {3\left( {3n + 2} \right)}} \cr } \)
\(\begin{array}{l}u_{n+1}-u_n\\= \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left[ {3\left( {n + 1} \right) + 2} \right]}}} \right) - \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}} \right)\\ = \frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{2}{3} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {3n + 2} \right) - 5\left( {3n + 5} \right)}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 15}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = - \frac{5}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\end{array}\)
\(\displaystyle ⇒ (u_n)\) là dãy số giảm
Ta lại có:
+) \(\frac{{2n + 3}}{{3n + 2}} > 0,\forall n \in {N^*}\)
+) \(2n + 3 < 3n + 2,\forall n \in {N^*}\) vì \(2n + 3 - 3n - 2 = - n + 1 \le 0,\)\(\forall n \in {N^*}\)
Do đó \(\displaystyle 0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \;\forall n \in\mathbb N^*\)
Vậy \(\displaystyle (u_n)\) là dãy số giảm và bị chặn.
Cách khác:
\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\\ = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 3}}{{3\left( {n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ = \frac{{2n + 5}}{{3n + 5}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ = \frac{{\left( {2n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right) - \left( {2n + 3} \right)\left( {3n + 5} \right)}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{6{n^2} + 19n + 10 - 6{n^2} - 19n - 15}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 5}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\end{array}\)
Do đó \( (u_n)\) là dãy số giảm.
Bài toán Câu 14 trang 106 trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh các chủ đề về hàm số, giới hạn, đạo hàm, hoặc các ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các kỹ năng giải toán liên quan.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:
Để giải quyết bài toán Câu 14 trang 106, học sinh cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Sau đó, cần phân tích đề bài để tìm ra phương pháp giải phù hợp. Thông thường, bài toán sẽ yêu cầu:
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết của bài toán, bao gồm các bước giải, các phép tính, và các giải thích rõ ràng. Ví dụ, nếu bài toán yêu cầu tìm cực trị của hàm số, lời giải sẽ bao gồm các bước sau:)
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài toán, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ minh họa:
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Hãy tìm cực trị của hàm số.
Lời giải:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán, học sinh nên luyện tập thêm các bài toán tương tự. Dưới đây là một số bài tập gợi ý:
Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng giải toán liên quan đến hàm số, đạo hàm, và các ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách nắm vững lý thuyết, phân tích đề bài một cách cẩn thận, và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết bài toán này và các bài toán tương tự.
