Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 2 trong SGK Toán 11 Nâng cao tập trung vào việc xác định điều kiện để hai đường thẳng trong không gian vuông góc với nhau. Để hiểu rõ hơn về chủ đề này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, tích vô hướng và mối quan hệ giữa tích vô hướng và góc giữa hai vectơ.

I. Khái niệm về hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 độ. Trong không gian, để xác định hai đường thẳng vuông góc, chúng ta thường sử dụng vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

II. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có vectơ chỉ phương a và b. Hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0, tức là:

a ⋅ b = 0

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương a = (1; 2; -1) và d₂ có vectơ chỉ phương b = (2; -1; 1). Kiểm tra xem hai đường thẳng này có vuông góc với nhau hay không.

Giải: Ta tính tích vô hướng của a và b:

a ⋅ b = (1)(2) + (2)(-1) + (-1)(1) = 2 - 2 - 1 = -1

Vì a ⋅ b ≠ 0, nên hai đường thẳng d₁ và d₂ không vuông góc với nhau.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình x - 2y + z - 1 = 0 và đường thẳng Δ có phương trình tham số x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t. Xác định xem đường thẳng d và Δ có vuông góc với nhau hay không.

Giải: Đầu tiên, ta tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Từ phương trình đường thẳng d, ta có vectơ pháp tuyến n = (1; -2; 1). Vì đường thẳng d có phương trình tổng quát, nên vectơ chỉ phương của d có thể nhận là a = (2; 1; 0) (chọn sao cho tích vô hướng với n bằng 0).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ là b = (1; -1; 2).

Ta tính tích vô hướng của a và b:

a ⋅ b = (2)(1) + (1)(-1) + (0)(2) = 2 - 1 + 0 = 1

Vì a ⋅ b ≠ 0, nên đường thẳng d và Δ không vuông góc với nhau.

IV. Bài tập áp dụng

Cho hai đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương a = (3; -2; 1) và d₂ có vectơ chỉ phương b = (1; 1; -1). Xác định xem hai đường thẳng này có vuông góc với nhau hay không.
Cho đường thẳng d có phương trình 2x + y - z + 3 = 0 và đường thẳng Δ có phương trình tham số x = 2 + t, y = -1 + 2t, z = 4 - t. Xác định xem đường thẳng d và Δ có vuông góc với nhau hay không.

V. Kết luận

Việc nắm vững điều kiện để hai đường thẳng vuông góc là rất quan trọng trong việc giải các bài toán liên quan đến hình học không gian. Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này. Hãy luyện tập thêm các bài tập để củng cố kiến thức và kỹ năng của mình.