Bài 15. Giới hạn của dãy số

Bài 15. Giới hạn của dãy số - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 15 trong Sách Bài Tập Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào việc củng cố kiến thức về giới hạn của dãy số. Đây là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong giải tích, là nền tảng cho việc nghiên cứu về đạo hàm, tích phân và các khái niệm nâng cao khác.

I. Khái niệm giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu khi n tiến tới vô cùng, các số hạng của dãy số tiến gần đến L. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Để chứng minh một dãy số có giới hạn, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc các định lý về giới hạn của dãy số.

II. Các dạng bài tập thường gặp

Bài tập về tính giới hạn của dãy số đơn giản: Các bài tập này thường yêu cầu tính giới hạn của các dãy số có dạng u_n = f(n), trong đó f(n) là một hàm số đơn giản.
Bài tập về chứng minh sự hội tụ của dãy số: Các bài tập này yêu cầu chứng minh rằng một dãy số có giới hạn hữu hạn.
Bài tập về ứng dụng của giới hạn dãy số: Các bài tập này yêu cầu sử dụng khái niệm giới hạn dãy số để giải quyết các bài toán thực tế.

III. Giải bài tập minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (2n + 1) / (n + 3)

Giải: Ta có:

lim_n→∞ (2n + 1) / (n + 3) = lim_n→∞ (2 + 1/n) / (1 + 3/n) = 2/1 = 2

Ví dụ 2: Chứng minh dãy số u_n = 1/n có giới hạn là 0.

Giải: Với mọi ε > 0, ta cần tìm N sao cho với mọi n > N, |u_n - 0| < ε.

|1/n - 0| = 1/n < ε ⇔ n > 1/ε. Vậy, ta chọn N = ⌈1/ε⌉ (phần nguyên của 1/ε). Khi đó, với mọi n > N, |u_n - 0| < ε.

Do đó, dãy số u_n = 1/n có giới hạn là 0.

IV. Lưu ý khi giải bài tập về giới hạn dãy số

Nắm vững định nghĩa và các định lý về giới hạn dãy số.
Sử dụng các kỹ thuật biến đổi đại số để đơn giản hóa biểu thức cần tính giới hạn.
Chú ý đến các trường hợp đặc biệt như dãy số không xác định, dãy số dao động.
Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay các giá trị lớn của n vào biểu thức.