Giải bài 5.3 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 5.3 trang 78 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 5.3 trang 78 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán liên quan đến việc khảo sát hàm số bậc ba bằng phương pháp đạo hàm. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số: Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x mà tại đó hàm số có nghĩa. Trong trường hợp hàm số đa thức, tập xác định thường là tập số thực R.
2. Tính đạo hàm cấp một (f'(x)): Đạo hàm cấp một của hàm số cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm. Việc tính đạo hàm cấp một là bước quan trọng để tìm các điểm cực trị của hàm số.
3. Tìm các điểm cực trị: Các điểm cực trị là các điểm mà tại đó đạo hàm cấp một bằng 0 hoặc không tồn tại. Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0.
4. Xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu): Để xác định loại cực trị, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
   • Phương pháp xét dấu đạo hàm cấp một: Xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm cực trị. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm, thì điểm đó là điểm cực đại. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm, thì điểm đó là điểm cực tiểu.
   • Phương pháp sử dụng đạo hàm cấp hai: Tính đạo hàm cấp hai (f''(x)). Nếu f''(x) < 0 tại một điểm cực trị, thì điểm đó là điểm cực đại. Nếu f''(x) > 0 tại một điểm cực trị, thì điểm đó là điểm cực tiểu.
5. Tìm các điểm uốn: Các điểm uốn là các điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai bằng 0 hoặc không tồn tại. Để tìm các điểm uốn, ta giải phương trình f''(x) = 0.
6. Xác định khoảng uốn: Xác định khoảng mà hàm số lõm lên hoặc lõm xuống.
7. Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã thu thập được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số cần khảo sát là f(x) = x³ - 3x² + 2. Ta thực hiện các bước sau:

1. Tập xác định: R
2. Đạo hàm cấp một: f'(x) = 3x² - 6x
3. Tìm điểm cực trị: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
4. Xác định loại cực trị:
   • f''(x) = 6x - 6
   • f''(0) = -6 < 0 => x = 0 là điểm cực đại
   • f''(2) = 6 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu
5. Tìm điểm uốn: 6x - 6 = 0 => x = 1

Từ đó, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số và kết luận về tính chất của hàm số.

Lưu ý khi giải bài tập

• Luôn kiểm tra lại các bước tính toán để tránh sai sót.
• Sử dụng các phương pháp xét dấu đạo hàm cấp một hoặc đạo hàm cấp hai một cách linh hoạt để xác định loại cực trị.
• Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả và hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số.

Tầm quan trọng của việc giải bài tập

Việc giải bài tập về khảo sát hàm số bằng phương pháp đạo hàm không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức lý thuyết mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề và tư duy logic. Đây là những kỹ năng quan trọng không chỉ trong môn Toán mà còn trong nhiều lĩnh vực khác của cuộc sống.

Kết luận

Bài 5.3 trang 78 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết bài tập một cách hiệu quả.