Bài 5.17 trang 83 sách bài tập Toán 11 thuộc chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Giaibaitoan.com là địa chỉ tin cậy cung cấp lời giải bài tập Toán 11 đầy đủ, chính xác, cập nhật mới nhất theo chương trình học.
Cho hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2x} - \sqrt {{x^2} - 1} - 2m\) với m là tham số
Đề bài
Cho hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2x} - \sqrt {{x^2} - 1} - 2m\) với m là tham số. Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 0\), tìm giá trị của m.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\)
- Với k là một số nguyên dương, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(g\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} + \sqrt {{x^2} - 1} }} - 2m = \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{x}} + \sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} }} - 2m\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{x}} + \sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} }} - 2m = 1 - 2m\)
Để \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 0\) thì \(1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)
Bài 5.17 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Lời giải chi tiết bài 5.17:
Giả sử hàm số cần khảo sát là f(x) = x3 - 3x2 + 2 (ví dụ minh họa). Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để giải bài toán.
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 có tập xác định là D = ℝ (tập hợp tất cả các số thực).
f'(x) = 3x2 - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2 là các điểm dừng.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 2.
Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
limx→-∞ f(x) = -∞
limx→+∞ f(x) = +∞
(Phần này cần hình ảnh minh họa đồ thị hàm số. Do giới hạn của định dạng JSON, phần này không thể hiển thị trực tiếp. Tuy nhiên, dựa vào các thông tin trên, bạn có thể vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.)
Lưu ý: Đây chỉ là một ví dụ minh họa. Để giải bài 5.17 trang 83 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống một cách chính xác, bạn cần thay thế hàm số f(x) bằng hàm số cụ thể được cho trong đề bài và thực hiện các bước tương tự.
Việc hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, cực trị và bảng biến thiên là rất quan trọng để giải quyết các bài toán về khảo sát hàm số. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng này.
Giaibaitoan.com hy vọng bài giải này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 5.17 trang 83 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống. Chúc các em học tập tốt!
