Giải bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Giải bài 7.54 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức

Bài 7.54 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các bài toán thực tế.

Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a\) v

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a\) và số đo của góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \({45^ \circ }\).

a) Tính theo \(a\) khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).

b) Tính theo \(a\) thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 7.54 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống 1

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).

Dựng \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H,AK\) vuông góc với \(A'H\) tại \(K\)
Chứng minh \(AK \bot \left( {A'BC} \right)\), suy ra \(A'H \bot BC\).
Góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \(\widehat {AHA'}\), suy ra \(\widehat {AHA'} = {45^ \circ }\) suy ra tam giác \(AHA'\)vuông cân.
Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác \(ABC\) tính \(BC\).
\(AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{AB.AC.{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{BC}}\).
\(AK = \frac{1}{2}A'H\).

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\).

\({V_{ABC,A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AA'\)

Lời giải chi tiết

Giải bài 7.54 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống 2

a) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H,AK\) vuông góc với \(A'H\) tại \(K\) thì \(AK \bot \left( {A'BC} \right)\), suy ra \(A'H \bot BC\).

Góc nhị diện \(\left[ {A',BC,A} \right]\) bằng \(\widehat {AHA'}\), suy ra \(\widehat {AHA'} = {45^ \circ }\).

Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác \(ABC\), ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB.AC.{\rm{cos}}\widehat {BAC} = 7{a^2}\), suy ra \(BC = a\sqrt 7 \).

Do đó \(AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{AB.AC.{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{BC}} = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}a\).

Vì tam giác \(AHA'\) vuông cân tại \(A\) nên \(AK = \frac{{A'H}}{2} = \frac{{AH\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a\).

Vậy \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a\).

b) Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) là \({V_{ABC,A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AA' = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } \cdot AA' = \frac{{27\sqrt 7 }}{{14}}{a^3}\)

Chinh phục đỉnh cao Toán 11 và đặt nền móng vững chắc cho cánh cửa Đại học với nội dung Giải bài 7.54 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống trong chuyên mục toán 11 trên nền tảng toán! Bộ bài tập toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng, cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề, sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, logic và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Giải bài 7.54 trang 43 Sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 7.54 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:

Đường thẳng song song với mặt phẳng: Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng là đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc vuông.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

Phân tích bài toán:

Trước khi bắt đầu giải bài toán, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Sau đó, chúng ta cần phân tích bài toán để tìm ra phương pháp giải phù hợp.

Lời giải chi tiết:

Để giải bài 7.54 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Bước 3: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng công thức: sin(θ) = |(a.n)| / (||a|| * ||n||), trong đó a là vectơ chỉ phương của đường thẳng, n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, θ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Bước 4: Kết luận về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng dựa trên giá trị của góc θ.

Ví dụ minh họa:

Giả sử chúng ta có đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): 2x - y + z = 5. Để tìm góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), chúng ta thực hiện như sau:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là a = (1, -1, 2).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1).
Tính sin(θ) = |(1*2 + (-1)*(-1) + 2*1)| / (√(1^2 + (-1)^2 + 2^2) * √(2^2 + (-1)^2 + 1^2)) = |2 + 1 + 2| / (√6 * √6) = 5/6.
Vậy θ = arcsin(5/6) ≈ 56.44°.

Lưu ý:

Trong quá trình giải bài toán, chúng ta cần chú ý đến việc kiểm tra lại các kết quả tính toán để đảm bảo tính chính xác. Ngoài ra, chúng ta cũng cần hiểu rõ ý nghĩa của các khái niệm và công thức đã sử dụng.

Bài tập tương tự:

Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, các bạn có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức.

Tổng kết:

Bài 7.54 trang 43 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các bạn có thể tự tin giải quyết bài toán một cách hiệu quả.

Các chủ đề liên quan: