Bài 1.16 trang 17 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài 1.16 trang 17, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tìm tập xác định của hàm số sau:
Đề bài
Tìm tập xác định của hàm số sau:
a) \(y = \cot 3x\);
b) \(y = \sqrt {1 - \cos 4x} \);
c) \(y = \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}\);
d) \(y = \sqrt {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \sin 2x}}} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Điều kiện xác định của \(y = \cot x\) là \(\sin x \ne 0\).
Điều kiện xác định của \(\sqrt {f(x)} \) là \(f(x) \ge 0\).
Điều kiện xác định của \(\frac{1}{{\sqrt {f(x)} }}\) là \(f(x) > 0\).
Điều kiện xác định của \(\frac{1}{{f(x)}}\) là \(f(x) \ne 0\).
Lời giải chi tiết
a) Biểu thức \(\cot 3x\)có nghĩa khi \(\sin 3x \ne 0\) hay \(3x \ne k\pi \)\( \Rightarrow x \ne k\frac{\pi }{3};k \in \mathbb{Z}\). Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) Biểu thức \(y = \sqrt {1 - \cos 4x} \)có nghĩa khi \(1 - \cos 4x \ge 0\). Nhưng \(\cos 4x \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Vậy tập xác định của hàm số là: \(\mathbb{R}\).
c) Hàm số \(y = \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}\) có nghĩa khi \({\sin ^2}x - {\cos ^2}x \ne 0\) hay \(\cos 2x \ne 0\).
\(2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Rightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}|\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
d) Hàm số\(y = \sqrt {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \sin 2x}}} \) có nghĩa khi \(1 - \sin 2x \ne 0\) hay \(\sin 2x \ne 1\).
\(\sin 2x \ne 1 \Rightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Rightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Bài 1.16 trang 17 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta xét tính đơn điệu của dãy số. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững định nghĩa về dãy số tăng, dãy số giảm, và các điều kiện để một dãy số là tăng hoặc giảm.
Để xét tính đơn điệu của dãy số un = 2n - 1, ta tính hiệu un+1 - un:
un+1 - un = (2(n+1) - 1) - (2n - 1) = 2n + 2 - 1 - 2n + 1 = 2
Vì un+1 - un = 2 > 0 với mọi n, nên dãy số un = 2n - 1 là dãy số tăng.
Tương tự, ta tính hiệu vn+1 - vn:
vn+1 - vn = (-3(n+1) + 5) - (-3n + 5) = -3n - 3 + 5 + 3n - 5 = -3
Vì vn+1 - vn = -3 < 0 với mọi n, nên dãy số vn = -3n + 5 là dãy số giảm.
Để xét tính đơn điệu của dãy số wn = (n2 + 1) / (n + 2), ta tính hiệu wn+1 - wn:
wn+1 - wn = ((n+1)2 + 1) / ((n+1) + 2) - (n2 + 1) / (n + 2)
wn+1 - wn = (n2 + 2n + 2) / (n + 3) - (n2 + 1) / (n + 2)
wn+1 - wn = [(n2 + 2n + 2)(n + 2) - (n2 + 1)(n + 3)] / [(n + 3)(n + 2)]
wn+1 - wn = [n3 + 2n2 + 2n + 2n2 + 4n + 4 - (n3 + 3n2 + n + 3)] / (n2 + 5n + 6)
wn+1 - wn = [n3 + 4n2 + 6n + 4 - n3 - 3n2 - n - 3] / (n2 + 5n + 6)
wn+1 - wn = (n2 + 5n + 1) / (n2 + 5n + 6)
Vì n2 + 5n + 1 > 0 và n2 + 5n + 6 > 0 với mọi n ≥ 1, nên wn+1 - wn > 0. Do đó, dãy số wn = (n2 + 1) / (n + 2) là dãy số tăng.
Tóm lại:
Việc hiểu rõ về tính đơn điệu của dãy số là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số trong chương trình Toán 11. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập khác để củng cố kiến thức và kỹ năng của mình.
Để hiểu sâu hơn về chủ đề này, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức, hoặc tìm kiếm trên các trang web học toán online uy tín.
