Bài 1.24 trang 19 sách bài tập Toán 11 thuộc chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Hãy cùng giaibaitoan.com khám phá lời giải chi tiết bài 1.24 này nhé!
Hằng ngày, Mặt trời chiếu sáng, bóng của một tòa chung cư cao 40m in trên mặt đất, độ dài bóng của tòa nhà này được tính bằng công thức
Đề bài
Hằng ngày, Mặt trời chiếu sáng, bóng của một tòa chung cư cao 40m in trên mặt đất, độ dài bóng của tòa nhà này được tính bằng công thức
\(S(t) = 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right|\),
Ở đó S được tính bằng mét, còn t là số giờ tính từ 6 giờ sáng.
a) Tính độ dài bóng của tòa nhà tại các thời điểm 8 giờ sáng, 12 giờ trưa, 2 giờ chiều và 5 giờ 45 phút chiều.
b) Tại thời điểm nào thì độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao tòa nhà?
c) Bóng tòa nhà sẽ như thế nào khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào công thức \(S(t) = 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right|\) đề làm
Lời giải chi tiết
a) Tại thời điểm 8 giờ sáng ta có \(t = 8 - 6 = 2\). Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 8 giờ sáng là
\(\) \(S(2) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.2} \right)} \right| = 40\sqrt 3 \,(m)\)
Tại thời điểm 12 giờ trưa ta có \(t = 12 - 6 = 6\). Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 12 giờ trưa là
\(S(6) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.6} \right)} \right| = 0\,(m)\)
Tại thời điểm 2 giờ chiều (14h) ta có \(t = 14 - 6 = 8\). Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 2 giờ chiều là
\(S(8) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.8} \right)} \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}\,(m)\)
Tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối (17h45) ta có \(t = 17 + \frac{3}{4} - 6 = \frac{{47}}{4}\). Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 2 giờ chiều là
\(S\left( {\frac{{47}}{4}} \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.\frac{{47}}{4}} \right)} \right| \approx 610,28\,(m)\)
b) Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi
\(\begin{array}{l}S(t) = 40 \Leftrightarrow 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)} \right| = 40 \Leftrightarrow \cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = \pm 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow t = \pm 3 + 12k\,\,(k \in \mathbb{Z}).\end{array}\)
Vì \(0 \le t \le 12\) nên \(t = 3\) hoặc \(t = 9\), tức là tại thời điểm 9 giờ sáng hoặc 3 giờ chiều thì bóng của tòa nhà dài bằng chiều cao của tòa nhà.
c) Khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối thì t tiến dần đến 12. Vì vậy \(\frac{\pi }{{12}}t \to \pi \), do đó \(\cot \frac{\pi }{{12}}t \to - \infty \). Như vậy, bóng của tòa nhà sẽ tiến ra vô cùng.
Bài 1.24 yêu cầu chúng ta tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi công thức đệ quy u1 = 1 và un+1 = un + 2.
Để tìm số hạng tổng quát của dãy số (un), ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học hoặc nhận xét về tính chất của dãy số.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số (un) là un = 2n - 1.
Dãy số (un) được định nghĩa bằng công thức đệ quy u1 = 1 và un+1 = un + 2. Điều này có nghĩa là mỗi số hạng tiếp theo trong dãy số được tạo ra bằng cách cộng 2 vào số hạng trước đó. Do đó, sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số (d = 2), cho thấy đây là một cấp số cộng.
Công thức tổng quát của cấp số cộng cho phép chúng ta tính toán bất kỳ số hạng nào trong dãy số chỉ bằng cách biết số hạng đầu (u1) và công sai (d). Trong trường hợp này, u1 = 1 và d = 2, vì vậy công thức trở thành un = 1 + (n - 1) * 2.
Để kiểm tra công thức, ta có thể tính u5 bằng cả công thức đệ quy và công thức tổng quát:
Kết quả trùng khớp, chứng tỏ công thức tổng quát un = 2n - 1 là chính xác.
Bài toán này là một ví dụ điển hình về việc tìm số hạng tổng quát của một cấp số cộng. Các em học sinh có thể áp dụng phương pháp này để giải các bài toán tương tự với các công thức đệ quy khác nhau.
Ngoài ra, các em cũng nên nắm vững các khái niệm liên quan đến dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân để có thể giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Để củng cố kiến thức, các em có thể thử giải các bài tập sau:
Giaibaitoan.com hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về bài 1.24 trang 19 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống. Chúc các em học tập tốt!
| n | un |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 5 |
| 4 | 7 |
| 5 | 9 |
