Bài 4.49 trang 72 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng cắt các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ diện lần lượt tại M, N, P, Q. Khi đó
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng cắt các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ diện lần lượt tại M, N, P, Q. Khi đó
A. MN, AC, PQ đồng quy.
B. MN, AC, PQ đôi một song song.
C. MN, AC, PQ đôi một chéo nhau.
D. MN, AC, PQ đôi một song song hoặc chéo nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào lý thuyết để chọn đáp án
Lời giải chi tiết
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Đáp án D.
Bài 4.49 trang 72 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài toán về ứng dụng của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Dưới đây là lời giải chi tiết bài 4.49 trang 72 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi M là trung điểm của cạnh CD.a) Chứng minh rằng AM vuông góc với mặt phẳng (SCD).
b) Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD).
c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).
a) Chứng minh AM vuông góc với mặt phẳng (SCD):
Ta có:
Trong mặt phẳng (SCD), ta có:
Ta cần chứng minh AM ⊥ (SCD). Điều này tương đương với việc chứng minh AM ⊥ SC và AM ⊥ SD.
Xét tam giác SAM vuông tại A, ta có SM2 = SA2 + AM2 = a2 + (5/4)a2 = (9/4)a2. Suy ra SM = (3/2)a.
Xét tam giác SCD, ta có SC = √(SA2 + AC2) = √(a2 + (a√2)2) = √(3a2) = a√3.
Xét tam giác AMD, ta có AM2 = AD2 + DM2 = a2 + (a/2)2 = (5/4)a2. Suy ra AM = (√5/2)a.
Ta có AM ⊥ CD và SA ⊥ CD, do đó CD ⊥ (SAM). Suy ra CD ⊥ SM.
Vì AM ⊥ CD và CD ⊥ (SAM) nên AM ⊥ (SCD). Vậy AM vuông góc với mặt phẳng (SCD).
b) Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD):
Góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABCD) chính là góc SMA.
Ta có tan(SMA) = SA/AM = a / ((√5/2)a) = 2/√5. Suy ra SMA = arctan(2/√5).
c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD):
Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD). Ta có:
VBSCD = (1/3)VSABCD
VSABCD = (1/3)SA.SABCD = (1/3)a.a2 = (1/3)a3
VBSCD = (1/3)h.SSCD
SSCD = (1/2)CD.SA = (1/2)a.a = (1/2)a2
Vậy (1/3)h.(1/2)a2 = (1/3)(1/3)a3
Suy ra h = (2/3)a
Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là (2/3)a.
