Bài 4.19 trang 60 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng cắt bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm M, N, P, Q.
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng cắt bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm M, N, P, Q.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song hoặc đồng quy.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NP, BD đôi một song song hoặc đồng quy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào định lý về 3 đường giao tuyến của 3 mặt phẳng: Nếu có 2 giao tuyến của song song với nhau thì giao tuyến thứ 3 cũng song song với 2 giao tuyến đó. Còn nếu có 2 giao tuyến cắt nhau thì 3 giao tuyến đó đồng quy.
Lời giải chi tiết
a)
Xét 3 mặt phẳng (ABC), (ACD) và (MNPQ)
MN là giao tuyến của (MNPQ) và (ABC)
PQ là giao tuyến của (MNPQ) và (ACD)
AC là giao tuyến của (ABC) và (ACD).
Vậy, theo tính chất 3 giao tuyến của 3 mặt phẳng cắt nhau thì các đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song hoặc đồng quy.
b)
Xét 3 mặt phẳng (ABD), (BCD) và (MNPQ)
MQ là giao tuyến của (MNPQ) và (ABD)
NP là giao tuyến của (MNPQ) và (BCD)
BD là giao tuyến của (ABD) và (BCD).
Vậy, theo tính chất 3 giao tuyến của 3 mặt phẳng cắt nhau thì các đường thẳng MQ, NP, BD đôi một song song hoặc đồng quy.
Bài 4.19 trang 60 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán liên quan đến vectơ trong không gian. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Trước khi bắt đầu giải bài toán, chúng ta cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Sau đó, chúng ta cần phân tích bài toán để tìm ra hướng giải quyết phù hợp. Thông thường, các bài toán về vectơ trong không gian có thể được giải bằng các phương pháp sau:
(Giả sử đề bài bài 4.19 là: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng vectơ CM vuông góc với vectơ A'M.)
Lời giải:
Chọn hệ tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A, trục Ox trùng với cạnh AB, trục Oy trùng với cạnh AD và trục Oz trùng với cạnh AA'. Khi đó, ta có:
Vì M là trung điểm của cạnh AB, nên M có tọa độ là (a/2; 0; 0).
Ta có vectơ CM = (a - a/2; b - 0; 0 - 0) = (a/2; b; 0).
Vectơ A'M = (a/2 - 0; 0 - 0; 0 - c) = (a/2; 0; -c).
Tính tích vô hướng của hai vectơ CM và A'M:
CM.A'M = (a/2)(a/2) + (b)(0) + (0)(-c) = a2/4.
Vì a2/4 ≠ 0 (trừ khi a = 0, nhưng khi đó hình hộp không tồn tại), nên vectơ CM không vuông góc với vectơ A'M.
(Lưu ý: Đây chỉ là một ví dụ minh họa. Lời giải cụ thể sẽ phụ thuộc vào đề bài của bài 4.19.)
Để nắm vững kiến thức về vectơ và các ứng dụng của vectơ trong hình học, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự. Bạn có thể tìm thấy các bài tập này trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức hoặc trên các trang web học toán online.
Bài 4.19 trang 60 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và các ứng dụng của vectơ trong hình học. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên đây, bạn sẽ giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
