Bài 7.13 trang 30 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Cho tứ diện \(ABCD\) có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng \(a\).
Đề bài
Cho tứ diện \(ABCD\) có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng \(a\). Tính côsin của góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(BCD\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp chung
Để xác định góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)ta thực hiện theo các bước sau:
- Tìm giao điểm \(O = a \cap \left( \alpha \right)\)
- Dựng hình chiếu \(A'\) của một điểm \(A \in a\) xuống \(\left( \alpha \right)\)
- Góc \(\widehat {AOA'} = \varphi \) chính là góc giữa đường thẳng \(a\) và \(\left( \alpha \right)\).
Gợi ý phương pháp giải
Kẻ \(AH \bot \left( {BCD} \right)\) tại \(H\),
Xác định hình chiếu của \(AB\) trên \(\left( {BCD} \right)\) là \(BH\)
Tính góc \(\left( {AB,BH} \right) = \widehat {ABH}\) rồi kết luận
Lời giải chi tiết
Kẻ \(AH \bot \left( {BCD} \right)\) tại \(H\), ta có \(BH\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) nên góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(BH\), mà \(\left( {AB,BH} \right) = \widehat {ABH}\).
Vì \(AB = AC = AD\) nên \(HB = HC = HD\), hay \(H\) là tâm của tam giác\(BCD\), suy ra\(BH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Từ đó ta tính được: \(\cos \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy côsin của góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Bài 7.13 trang 30 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh giải quyết một bài toán liên quan đến vectơ trong không gian. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Trước khi bắt đầu giải bài toán, chúng ta cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Sau đó, chúng ta cần phân tích bài toán để tìm ra hướng giải quyết phù hợp. Thông thường, các bài toán về vectơ trong không gian có thể được giải bằng các phương pháp sau:
(Giả sử đề bài là: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng vectơ CM vuông góc với vectơ A'M.)
Lời giải:
Chọn hệ tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A, trục Ox trùng với cạnh AB, trục Oy trùng với cạnh AD và trục Oz trùng với cạnh AA'. Khi đó, ta có:
Vì M là trung điểm của cạnh AB, nên M có tọa độ là (a/2; 0; 0).
Ta có vectơ CM = (a - a/2; b - 0; 0 - 0) = (a/2; b; 0).
Vectơ A'M = (a/2 - 0; 0 - 0; 0 - c) = (a/2; 0; -c).
Tính tích vô hướng của hai vectơ CM và A'M:
CM.A'M = (a/2)(a/2) + (b)(0) + (0)(-c) = a2/4.
Vì a2/4 ≠ 0 (trừ khi a = 0, nhưng khi đó hình hộp không tồn tại), nên vectơ CM không vuông góc với vectơ A'M.
(Lưu ý: Đây chỉ là một ví dụ minh họa. Lời giải cụ thể sẽ phụ thuộc vào đề bài của bài 7.13 trang 30.)
Ngoài bài 7.13 trang 30, sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức còn có nhiều bài tập tương tự về vectơ trong không gian. Để giải các bài tập này, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
Để học tốt và giải bài tập về vectơ một cách hiệu quả, bạn nên:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ giải quyết thành công bài 7.13 trang 30 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức và các bài tập tương tự. Chúc bạn học tốt!
