Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 Kết nối tri thức

Chương V trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào hai khái niệm nền tảng của giải tích: giới hạn và tính liên tục của hàm số. Đây là những khái niệm then chốt, không chỉ quan trọng cho việc học Toán 11 mà còn là nền tảng cho các chương trình học toán cao hơn, đặc biệt là giải tích.

1. Giới hạn của hàm số

Khái niệm giới hạn hàm số là một trong những khái niệm khó hiểu nhất đối với học sinh mới làm quen với giải tích. Về cơ bản, giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới một giá trị a (ký hiệu là lim x→a f(x)) là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x càng gần a, nhưng không nhất thiết phải bằng a.

Giới hạn hữu hạn: Khi x tiến tới a, f(x) tiến tới một số L xác định.
Giới hạn vô cực: Khi x tiến tới a, f(x) tăng hoặc giảm vô hạn.

Các phương pháp tính giới hạn

Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị a vào hàm số f(x) nếu f(x) xác định tại a.
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng các phép biến đổi đại số để rút gọn biểu thức và loại bỏ các yếu tố gây ra dạng vô định.
Phương pháp nhân liên hợp: Sử dụng kỹ thuật nhân với liên hợp để khử dạng vô định.
Sử dụng các giới hạn đặc biệt: Áp dụng các giới hạn đã biết như lim x→0 sinx/x = 1, lim x→0 (1+x)^1/x = e.

2. Hàm số liên tục

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x = a nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

f(a) xác định.
lim x→a f(x) tồn tại.
lim x→a f(x) = f(a).

Hàm số liên tục trên một khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

Ý nghĩa của tính liên tục

Tính liên tục của hàm số đảm bảo rằng đồ thị của hàm số không bị đứt quãng tại các điểm liên tục. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong nhiều ứng dụng thực tế, chẳng hạn như mô tả các hiện tượng vật lý, kinh tế, và kỹ thuật.

3. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính giới hạn lim x→2 (x^2 - 4) / (x - 2)

Giải: Ta có thể phân tích thành nhân tử tử số: (x^2 - 4) = (x - 2)(x + 2). Do đó, lim x→2 (x^2 - 4) / (x - 2) = lim x→2 (x + 2) = 4.

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x^2, nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } tại x = 1.

Giải: Ta có f(1) = 1^2 = 1. lim x→1- f(x) = lim x→1- x^2 = 1 và lim x→1+ f(x) = lim x→1+ (2x - 1) = 1. Vì lim x→1- f(x) = lim x→1+ f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

4. Luyện tập và ôn tập

Để nắm vững kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm số, bạn nên luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức cung cấp một lượng lớn bài tập với nhiều mức độ khó khác nhau, giúp bạn rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức. Ngoài ra, bạn có thể tham khảo các tài liệu tham khảo khác và tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè.

Giaibaitoan.com hy vọng rằng với những kiến thức và bài giải chi tiết trên, bạn sẽ học tốt môn Toán 11 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.